Глава 11. РЯДЫ

§ 11.1. Понятие ряда

Выражение

где числа (члены ряда), вообще комплексные, зависят от индексов называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:

Эта чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1). Числа

называются частичными суммами ряда (1).

По определению ряд (1) сходится, если существует предел

В этом случае пишут

и называют суммой ряда, т.е. выражениям (1) или (2) приписывают число . Говорят еще, что ряд (3) сходится к

В силу условия Коши (верного и для комплексных чисел) для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого нашлось такое чтобы для всех натуральных и любого натурального выполнялось неравенство

Отсюда, в частности (полагая следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:

Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимости ряда, как это будет видно из дальнейших примеров. Рассмотрим еще ряд

Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда (5) равна

Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность поэтому, если эта последовательность ограничена,

ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству

Если же она неограничена, то ряд расходится:

В этом случае пишут

Пример 1. Ряд

имеет частичную сумму Если то т.е. ; если и, наконец, если то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, равный единице стремится к нулю при

Таким образом, ряд (6) сходится и имеет сумму, равную на открытом круге а для остальных точек комплексной плоскости он расходится.