§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева

Чтобы выяснить связь алгебраических многочленов с тригонометрическими полиномами, точнее, с четными тригонометрическими полиномами, обратимся к равенству

Члены его правой части с четными степенями действительны, а с нечетными — мнимы. Кроме того, Из этого следует, что при любом натуральном

где

— алгебраический многочлен степени с действительными коэффициентами. Он называется многочленом Чебышева степени Очевидно,

Из сказанного следует, что всякий четный тригонометрический полином

при помощи подстановки гомеоморфно (т. е. взаимно однозначно и непрерывно) отображающей отрезок в на отрезок преобразуется в алгебраический многочлен степени

Важно, что, и обратно, подстановка преобразует произвольный алгебраический многочлен

степени в четный тригонометрический полином (см. §

где числа зависят от