§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)

Говорят, что на множестве точек имеет порядок или что есть О большое от на пишут при этом

если

где С — не зависящая от х положительная константа.

В частности, равенство на обозначает тот факт, что на ограничена.

Очевидно, если на на то на

Пример 1. на

Пример 2. на (но не на [0,1]); при этом здесь переставить местами, очевидно, нельзя. С другой стороны, на [0,1].

Мы будем писать

и говорить, что функция есть о малое от при , если

где функция Мы также будем писать

если существует окрестность точки а (конечной или бесконечной) такая, что

Само собой разумеется, что определение (3) так же, как и (4), предполагает, что обе функции определены на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Если на некоторой такой окрестности (исключая точку а) то определения (3) и (4), очевидно, эквивалентны следующим: говорят, что есть о малое от при если

и есть О большое от при если существует окрестность на которой, за исключением точки а, отношение ограничено. Можно считать, что стремление х к а происходит только слева или справа и тогда для бесконечной точки в первом случае надо считать, что и во втором, что Конечно, под окрестностью а понимается тогда левая или соответственно правая ее окрестность.

Наконец, можно считать в (3), (4), что х стремится к конечному или бесконечному пределу а, пробегая определенную последовательность

Очевидно, что если то потому что

где так как

Пример 3.

Говорят, что функции эквивалентны (равны асимптотически) при и пишут

если обе они определены и не равны нулю на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если

Здесь относительно стремления к а можно согласиться так же, как и выше.

Теорема 1. Для того чтобы две функции были эквивалентными (равными асимптотически) при необходимо и достаточно, чтобы выполнялись свойства

Доказательство. Из (6) следует, что

откуда

т.е. справедливо (7).

Обратно, пусть имеет место (7). Тогда

где Отсюда

и после перехода к пределу при получим (6).

Заметим, что если то, очевидно, и обратно

Теорема 2. Пусть в окрестности точки а, за исключением, быть может, ее самой, заданы три функции Если при то

Это равенство надо понимать в том смысле, что если существует предел правой его части, то существует также, и притом ему равный, предел левой части, и обратно.

Отсюда следует, что если один из пределов не существует, то не существует и второй.

Доказательство. Пусть существует предел, стоящий в правой части (8), равный А. Тогда, очевидно,

Аналогично доказывается существование предела правой части (8) и равенство (8), если известно, что существует предел левой части (8).

Доказанная теорема очень проста, и в то же время она весьма важна. Для применения ее на практике надо знать побольше случаев эквивалентных пар функций.

Ниже мы приводим ряд таких случаев.

1) , потому что .

2) , потому что

Второе равенство в этой цепи верно на основании теоремы 2 в силу того, что

3) , потому что если положить то и

При этом предпоследнее равенство верно, потому что и есть функция, непрерывная для в частности, в точке .

4) , потому что

5) потому что

Учесть, что функция непрерывна в точке .

6) , потому что

так как непрерывная функция. Например, в силу 2) и 5) и теоремы 2

Полезно следующее определение. Если для функции можно подобрать числа где такие, что то говорят, что функция есть главный степенной член функции Очевидно, что числа однозначно зависят от функции

Правые части асимптотических равенств 1)-6) суть, очевидно, главные степенные члены левых частей. Общие методы нахождения главных степенных членов в более сложных случаях основаны на применении формулы Тейлора (см. далее § 5.11, примеры 3, 4, и § 5.14).

Если суть главные степенные члены соответственно функций то на основании теоремы 2

Это рассуждение в частном случае было проведено при вычислении предела (9).