§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением
Пусть 
есть действительное n-мерное пространство. Произвольным его точкам (векторам)
приведем в соответствие число
называемое скалярным произведением векторов х и у.
Скалярное произведение, очевидно, обладает следующими свойствами:
2) 
есть линейная форма по х, т. е. для любых векторов х, у, z и чисел 
таким образом, в силу 1)
3) 
для любого вектора х, а из равенства 
следует, что 
так как тогда 
Введем следующее определение: если 
есть линейное действительное множество и любым его двум элементам х, у приведено в соответствие число (х,у), подчиняющееся условиям 
то будем говорить, что 
есть линейное пространство со скалярным произведением (где введено скалярное произведение).
Теперь можно сказать, что пространство 
в котором введено понятие (1), есть пространство со скалярным произведением.
Известны и другие линейные пространства со скалярным произведением. Некоторые из них мы будем изучать (см. гл. 14).
Пусть х и у — два элемента какого-либо линейного множества 
где введено скалярное произведение, и 
произвольное действительное число. Тогда в силу свойств 
Полагая
получим
Поэтому из (3) следует:
и мы получили важное неравенство (неравенство Буняковского).
При 
т.е. если 
есть нулевой элемент, оно тоже верно, потому что 
Далее, для любых двух элементов 
имеем
и мы получили другое важное неравенство
Арифметическое значение корня квадратного из 
называется нормой х и обозначается так: 
(см. следующий параграф).
n-мерное пространство 
где введено скалярное произведение (1), называется евклидовым n-мерным пространством.
Неравенства (5), (7) для элементов евклидова n-мерного пространства превращаются в следующие неравенства для систем чисел 
Из (8) следует неравенство
а из (9) следует неравенство
потому что можно считать, что эти неравенства применены к неотрицательным числам 
Отметим еще неравенства
Первое из них вытекает из (10), если считать 
, а второе проверяется непосредственно после возведения его частей в квадрат.
Соотношение (8) называется неравенством Коши, а (9) есть частный случай неравенства Минковского.
