§ 8.3. Комплексные функции

Пусть есть некоторая область комплексной плоскости (см. рис. 8.3). Если каждому комплексному числу в силу некоторого закона соответствует комплексное число то говорят, что этим определена на функция от аргумента и пишут Примером такой функции является многочлен степени

заданный, очевидно, на всей комплексной плоскости значений (точек) z. Здесь — заданные комплексные (в частности, действительные) числа — коэффициенты многочлена.

Рис. 8.3

Функция непрерывна в точке если модуль ее приращения в этой точке стремится к нулю, когда стремится к нулю модуль соответствующего (комплексного) приращения аргумента:

Соответственно пишут

Сумма, разность, произведение и частное (с известной оговоркой) двух непрерывных в точке функций комплексного переменного есть непрерывная функция в этой точке. Доказываются эти свойства, как в действительном случае.

Функция постоянная, т.е. равная одному и тому же комплексному числу с для любых комплексных очевидно, непрерывна. Непрерывна также для любого комплексного функция Но тогда и многочлен есть непрерывная функция от любого комплексного

По определению производной от в точке называется предел

т.е. число (если оно существует), для которого выполняется свойство

Производные от суммы, разности, произведения и частного от функций комплексного вычисляются по формулам, аналогичным тем, которые мы знаем из действительного анализа.

Аналогично, также получаются формулы

При выводе формулы (3) так же, как в действительном анализе, можно применять формулу Ньютона, верную и для комплексных чисел. Но тогда производная по от многочлена имеет обычный вид, как в действительном анализе:

В сущности мы считаем, что в нашем распоряжении имеется как исходная одна функция комплексного переменного — многочлен. В дальнейшем мы увидим, что методы теории пределов дадут нам возможность конструировать при помощи многочленов важные для анализа более сложные функции комплексного переменного. Среди них элементарные функции комплексного переменного

Нам понадобится еще оперировать с комплексными функциями от действительной переменной.

Если каждому действительному числу принадлежащему, например, интервалу в силу некоторого закона соответствует комплексное число то говорят, что этим определена комплексная функция от действительной переменной на интервале и записывают ее так:

Здесь комплексное число, т.е. значения в точке , а соответственно действительная и мнимая части этого числа. Функции обычные действительные функции от

Комплексная функция от действительной переменной непрерывна в точке если непрерывны в этой точке функции

Функция имеет производную в точке если действительные функции имеют производную в этой точке. Пишут при этом:

Мы знаем одну такую функцию

Это есть комплексная функция от действительной переменной в . Ее производная равна

В дальнейшем мы будем владеть теорией (теорией степенных рядов), с точки зрения которой эту функцию, а с ней и эту формулу, можно будет определить и для комплексных в.