§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов

Выражение

где числа (действительные или комплексные), зависящие от пар индексов называется двойным или двукратным рядом. Числа называются членами, а числа

— частичными суммами ряда (1).

По определению ряд (1) сходится к числу 5, называемому суммой ряда (1), если существует

т. е. если для любого найдется такое что

для всех . В этом случае пишут

Остановимся на случае, когда члены ряда (1) неотрицательны Положим

Если конечное число, то для любого найдется пара то, по такая, что а вследствие неотрицательности

Поэтому и существует предел

Если же то, очевидно (при ). В этом случае пишут

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Как и в случае обычных рядов, доказывается (прибегая к условию Коши), что абсолютно сходящийся ряд сходится. Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение

которому естественно приписать число А (если только оно существует), получаемое следующим образом: если для каждого ряд, заключенный в скобки, сходится и имеет сумму и ряд сходится к числу А, то полагаем

Теорема 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, то имеет место равенство

Доказательство. Допустим сначала, что неотрицательны. Пусть левая часть (6) (имеющая смысл!) равна числу Для любых неотрицательных при

откуда ряды сходятся; поэтому, если во втором неравенстве зафиксировать и перейти к пределу при получим, что

для любого откуда следует существование числа (см. (5)) и тот факт, что

С другой стороны, если число А конечно, то при любых

и потому

Равенство (6) при доказано.

Пусть теперь действительны. Положим

Тогда

Поэтому из сходимости ряда следует сходимость рядов с неотрицательными членами, и потому

Наконец, если — комплексные числа и ряд сходится, то сходятся также ряды действительные числа, поэтому

Теорема доказана полностью.

Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть задан двойной ряд (1), сходящийся и притом абсолютно. Его сумму так же, как сумму ряда, составленного из абсолютных величин его членов, можно записать в виде пределов последовательностей:

обычных, зависящих только от одного индекса Последовательностям соответствуют сходящиеся ряды

с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скобках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходимость его не изменится, если в нем скобки вычеркнуть:

Но тогда ряд

полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходится, следовательно, сходится, очевидно, к

Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократный) ряд (11) сходится тоже к и тоже абсолютно. Но члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не нарушая его сходимости и не изменяя суммы.

Этим доказана следующая теорема.

Теорема 2. Если члены двойного ряда (1), сходящегося к числу и притом абсолютно, перенумеровать любым способом при помощи одного индекса и составить ряд последний будет сходиться к тому же числу (абсолютно).

В заключение заметим, что можно рассматривать трех-, четырех- и, вообще, n-кратные ряды

Для них могут быть доказаны теоремы, аналогичные теоремам 1,2.