§ 7.10. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка называется предельной точкой множества если из того, что следует, что

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать но если все предельные точки принадлежат то множество называется замкнутым.

Таким образом, множество замкнуто, если из того, что следует, что Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть есть функция, определенная и непрерывная на — любое число.

Множества 1) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть тогда Нотогдаи т.е.

Пример 2. Шар есть замкнутое множество в силу примера 1, потому что функция определена и непрерывна на

Отметим, что если замкнутое множество, то открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в существовала бы точка которая не есть внутренняя точка Выходит, что, каково бы ни было натуральное число k, должна найтись точка для которой

Мы получили бы последовательность точек Но по условию замкнуто, и потому Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что

Обратно, если открытое множество, то замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последовательность точек . Но открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки

Пример 3. Пусть непрерывная функция. 1) Множество замкнуто, а открыто. 2) Множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество отличное от то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

где совокупность внутренних точек это открытое ядро — совокупность внутренних точек это открытое ядро совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для но и не есть внутренняя для Такие точки называются граничными точками , а называется границей открыто, открыто, тоже открыто, замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку множества можно определить как такую точку что любой шар с центром в ней содержит как точки так и точки Сама точка может принадлежать и не принадлежать

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть тогда

Пример множество точек с рациональными координатами.

Пусть Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначаемое так:

У замкнутого множества А предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества С А. Таким образом, если А — замкнутое множество, то