Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Для функции (вообще L) из формул (4) и (5) предыдущего параграфа следует, что
где
(разность в точке с шагом ).
В этих преобразованиях мы воспользовались периодичностью подынтегральной функции.
Равенство (1) дает выражение для остаточного члена ряда Фурье. Выяснение вопроса, сходится или не сходится ряд Фурье функции в данной точке к ее значению и связанные с этим вопросом оценки сходимости сводятся к исследованию поведения интеграла (1) при
Лемма 1. Пусть и задано число удовлетворяющее неравенствам Тогда сумма Фурье в точке х может быть представлена в виде
равномерно относительно т. е. для любого
при достаточно большом для любого
Доказательство. Условимся считать, что суть ограниченные функции, принадлежащие Доказательство основывается на теореме 2 из § 15.4 (см. ниже), в силу которой имеет место
равномерно относительно любых Имеем пояснения ниже)
Тот факт, что есть кусочно непрерывная ограниченная функция, очевиден.
Далее, для
Теперь имеем
равномерно относительно любых х. Следствие 1. Для
Доказательство. Надо положить в . Следствие 2. Для при любом х
и притом равномерно относительно принадлежащих отрезку на котором ограничена
В самом деле, умножая (4) на получим (5), где величина стремится при к нулю при всяком Если же , то
где правая часть не зависит от и все же стремится к нулю при , а это и значит, что при стремится к нулю равномерно на
Следствие 3. Имеет место равенство
Оно вытекает из (4), где в интеграле надо произвести замену переменной: и перейти к пределу при
Лемма 2. Если функция определена в точке то
и притом равномерно относительно принадлежащих отрезку, на котором ограничена.
Эта лемма непосредственно следует из леммы 1 и следствия 2.
Таким образом, вопрос о том, стремится ли левая часть (7) к нулю при в точке х или на отрезке всецело зависит от поведения главного члена правой части (7). Остаточный член уже стремится к нулю.
Остановимся еще на важном свойстве рядов Фурье, называемом принципом локализации. Если мы хотим узнать, сходится или не сходится ряд Фурье данной функции на отрезке или в точке достаточно знать ее свойства на каком-нибудь отрезке строго внутри себя содержащем или соответственно
В самом деле, положим Тогда для точек для которых мы хотим исследовать сходимость ряда Фурье, подынтегральное выражение в правой части (7) зависит от значений только на (ведь если и то
(вообще L) из формул (4) и (5) предыдущего параграфа следует, что
в точке 
с шагом 
).
в данной точке 
к ее значению 
и связанные с этим вопросом оценки сходимости сводятся к исследованию поведения интеграла (1) при 
и задано число 
удовлетворяющее неравенствам 
Тогда 
сумма Фурье 
в точке х может быть представлена в виде
т. е. для любого 
для любого 
суть ограниченные функции, принадлежащие 
Доказательство основывается на теореме 2 из § 15.4 (см. ниже), в силу которой имеет место
Имеем 
пояснения ниже)
есть кусочно непрерывная ограниченная функция, очевиден.
. Следствие 2. Для 
при любом х
принадлежащих отрезку 
на котором 
ограничена 
получим (5), где величина 
стремится при 
к нулю при всяком 
Если же 
, то
и все же стремится к нулю при 
, а это и значит, что 
при 
стремится к нулю равномерно на 
и перейти к пределу при 
определена в точке 
то
принадлежащих отрезку, на котором 
ограничена.
в точке х или на отрезке 
всецело зависит от поведения главного члена правой части (7). Остаточный член уже стремится к нулю.
на отрезке 
или в точке 
достаточно знать ее свойства на каком-нибудь отрезке 
строго внутри себя содержащем 
или соответственно
Тогда для точек 
для которых мы хотим исследовать сходимость ряда Фурье, подынтегральное выражение в правой части (7) зависит от значений 
только на 
(ведь если 
и 
то 
