§ 6.8. Касательная
В пространстве, где определена прямоугольная система координат
пусть задана гладкая кривая, определяемая вектором
(рис. 6.5). Будем считать, что отсчет дуги выбран так, что с возрастанием параметра
ее длина
возрастает (как в § 6.7).
Рис. 6.5
Положим
Вектор
имеет направление касательной к нашей кривой в точке
поэтому произвольная точка касательной
определяется вектором
где
произвольное число (текущий параметр касательной), ведь векторы
коллинеарны.
Равенство (1) есть уравнение касательной к кривой в точке
в векторной форме.
Из (1) следует, что уравнения касательной в декартовых координатах имеют вид
или
Обозначим через
углы, которые образует положительное направление касательной (направление
) соответственно с положительными направлениями осей координат
Очевидно,
где
обозначает, что в надо подставить значение
соответствующее
Перед корнями стоит знак
потому что мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с
Кривую, заданную в плоскости
можно рассматривать как частный случай кривой в пространстве, у которой
Поэтому соотношениям (2) в плоском случае соответствует одно уравнение
Положительное направление касательной образует в этом случае с осью х угол а, для которого
Итак,
вектор касательной к ориентированной кривой
Начало его берут в точке касания к
Направлен он по касательной в сторону возрастания
Единичный вектор касательной: