§ 6.8. Касательная
В пространстве, где определена прямоугольная система координат 
пусть задана гладкая кривая, определяемая вектором 
(рис. 6.5). Будем считать, что отсчет дуги выбран так, что с возрастанием параметра 
ее длина 
возрастает (как в § 6.7).
Рис. 6.5
Положим 
Вектор 
имеет направление касательной к нашей кривой в точке 
поэтому произвольная точка касательной 
определяется вектором
где 
произвольное число (текущий параметр касательной), ведь векторы 
коллинеарны.
Равенство (1) есть уравнение касательной к кривой в точке 
в векторной форме.
Из (1) следует, что уравнения касательной в декартовых координатах имеют вид
или
Обозначим через 
углы, которые образует положительное направление касательной (направление 
) соответственно с положительными направлениями осей координат 
Очевидно,
где 
обозначает, что в надо подставить значение 
соответствующее 
Перед корнями стоит знак 
потому что мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с 
Кривую, заданную в плоскости 
можно рассматривать как частный случай кривой в пространстве, у которой 
Поэтому соотношениям (2) в плоском случае соответствует одно уравнение
Положительное направление касательной образует в этом случае с осью х угол а, для которого
Итак, 
вектор касательной к ориентированной кривой 
Начало его берут в точке касания к 
Направлен он по касательной в сторону возрастания 
Единичный вектор касательной:
