Глава 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 12.1. Введение

Пусть в трехмерном пространстве, в котором определена прямоугольная система координат задана непрерывная поверхность

где есть некоторое ограниченное (двумерное) множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры). В качестве может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т.д. Будем считать, что функция положительна, и поставим задачу: требуется определить объем тела, ограниченного сверху нашей поверхностью, снизу плоскостью и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу 7 плоского множества с образующей, параллельной оси

Искомый объем естественно определить следующим образом. Разделим на конечное число частей

перекрывающихся между собой разве что по своим границам. Однако эти части должны быть такими, чтобы можно было определить их площади (двумерные меры), которые мы обозначим соответственно через

Введем понятие диаметра множества это есть точная верхняя грань

В каждой части выберем по произвольной точке и составим сумму

которую естественно считать приближенным выражением объема Надо думать, что приближение будет тем более точным, чем

меньшими будут диаметры частей Поэтому естественно объем нашего тела определить как предел суммы (2):

когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения (1) стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует и равен одному и тому же числу независимо от способа последовательного разбиения

Можно отвлечься от задачи о нахождении объема тела и смотреть на выражение (3) как на некоторую операцию, которая производится над функцией определенной на Эта операция называется операцией двойного интегрирования по Риману функции на множестве , а ее результат — определенным двойным интегралом (Римана) от на обозначаемым так:

Пусть теперь в трехмерном пространстве, где определена прямоугольная система координат задано тело (множество) с неравномерно распределенной в нем массой с плотностью распределения Требуется определить общую массу тела

Чтобы решить эту задачу, естественно произвести разбиение на части объемы (трехмерные меры) которых (в предположении, что они существуют) пусть будут выбрать произвольным образом в каждой части по точке и считать, что искомая масса равна

Снова на выражение (4) можно смотреть как на определенную операцию над функцией заданной теперь на трехмерном множестве Эта операция на этот раз называется операцией тройного интегрирования (по Риману), а результат ее — определенным тройным интегралом (Римана), обозначаемым так:

В этом же духе определяется понятие -кратного интеграла Римана.

В связи с этим появляется необходимость в четком определении понятия меры множества и выяснении ее свойств. Поэтому мы начинаем эту главу с изложения теории меры по Жордану, органически связанной с теорией интеграла Римана. На основе этой теории затем излагается теория кратного интеграла. Важным методом в этой последней теории является тот факт, что вычисление кратных интегралов может быть сведено к вычислению однократных по каждой переменной в отдельности, что дает возможность применять во многих случаях теорему Ньютона-Лейбница.