Главная > Курс математического анализа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8.4. Многочлены

В § 5.9 было уделено внимание многочленам степени :

где коэффициенты и переменная х считались действительными.

В этом параграфе мы будем рассматривать более общие многочлены степени

где вообще говоря, комплексные коэффициенты, а переменная, пробегающая любые комплексные значения.

Если 2 в правой части (1) заменить на возвести в требуемые степени и привести подобные члены с одинаковыми степенями то представится в виде суммы по степеням

Производная от порядка к (в комплексном смысле; см. § 8.3) равна

Поэтому

Мы получили формулу Тейлора для многочлена по степеням . Из нее следует, что имеет единственное разложение вида (2): если два многочлена тождественно (т.е. для всех равны, то коэффициенты их при одинаковых степенях равны, потому что они определяются одними и теми же формулами (3). В частности, многочлен степени тождественно равный нулю, имеет все коэффициенты, равные нулю. Если точка такова, что

то можно представить в виде

где многочлен степени , и наоборот. Действительно, из (5) следует (6) на основании формулы Тейлора (4); с другой стороны, если верно (6), то помножим все члены разложения по степеням на и сложим; тогда в силу единственности получим тейлорово разложение по степеням удовлетворяющее свойствам (5).

В случае (5), или, что все равно, (6), говорят, что есть корень многочлена кратности k. Можно еще сказать, что есть корень кратности k, если делится на но не делится на

Имеет место основная теорема алгебры, заключающаяся в следующем: многочлен степени имеет по меньшей мере один комплексный корень.

Из этой теоремы легко заключить, что на самом деле имеет и только корней, если учесть их кратность. В самом деле, пусть есть корень степени Кратность его обозначим через Тогда

где степени Если то по той же основной теореме у многочлена найдется корень некоторой кратности и тогда

Если все еще будет иметь положительную степень, то продолжим эти рассуждения. После конечного числа этапов подобных рассуждений мы придем к тому, что имеет (разные) корни соответственно кратностей где и представляется в виде произведения:

Других корней не имеет, потому что в силу (7) для всякого очевидно, Это показывает, что представление в виде произведения (7) единственно.

Остановимся еще на интересной связи между рассматриваемым многочленом и его производной Она заключается в том, что общий наибольший делитель есть многочлен, равный с точностью до постоянного не равного нулю множителя многочлену

Многочлен всегда можно найти эффективно методом алгоритма Евклида, хотя его корни, быть может, так и останутся неизвестными (см. 4-е издание этой книги, § 8).

Отметим, что основная теорема алгебры доказывает только существование корня (вообще, комплексного) у многочлена степени, не давая эффективных методов нахождения его в общем случае. Впрочем, доказательство этой теоремы проводится методами математического анализа, а не алгебры, и если мы не доказываем здесь эту теорему, то потому, что она связана более органически с теорией функций комплексного переменного.

Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Для уравнений степени таких формул нет. Абель доказал, что они не могут существовать. Это надо понимать в том смысле, что при корни уравнения не выражаются через коэффициенты посредством функций от этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа операций только следующего вида: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Многочлен (см. (1)) называется действительным, если все его коэффициенты действительны. Действительный многочлен, если его рассматривать для действительных есть действительная функция , т.е. принимающая действительные значения.

Важное свойство действительного многочлена выражается в равенстве

верном для любого комплексного Оно устанавливается на основании формул § 8.2, (14) при помощи следующих выкладок, где надо учесть, что (в силу действительности ):

Докажем теорему.

Теорема. Если действительный многочлен имеет комплексный корень кратности k, то он имеет также корень ему сопряженный, той же кратности.

Доказательство. По условию имеем Легко видеть, что если есть действительный многочлен, то и его производная порядка I есть действительный многочлен. Поэтому в силу для любого следовательно,

На основании этой теоремы, принимая во внимание доказанное разложение (см. (7)) многочлена степени на множители, действительный многочлен степени можно представить в виде произведения:

где действительные числа, многочлены имеют комплексные (попарно сопряженные) корни и Отметим, что числа определяются многочленом однозначно.

В самом деле, обратимся к разложению (7). Если среди входящих в него корней имеются действительные, то мы их заново пронумеруем, обозначив через Соответствующие степени биномов обозначим через

Наряду с каждым множителем с комплексным корнем в произведении (7) на основании доказанной теоремы обязательно имеется также множитель вида где . Полагая получим

где действительные числа.

Теперь остается только перенумеровать множители, соответствующие разным попарно сопряженным корням и заменить ими соответствующие множители (7). В результате получим (10).

1
Оглавление
email@scask.ru