§ 12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай

Покажем, как видоизменяется интеграл

если в нем произвести замену переменных

Будем считать, что — область с непрерывной кусочно гладкой границей (рис. 12.10).

Преобразование, обратное к (2), отображает на некоторую область плоскости с непрерывной кусочно гладкой границей (рис. 12.11), и на определена функция

Введем на плоскости прямоугольную сетку со сторонами квадратов А длины

Рис. 12.10

Рис. 12.11

Она отображается при помощи уравнений (2), вообще говоря, в косоугольную сетку, делящую плоскость на равные параллелограммы А (образы А), имеющие площадь

Тем самым определены разбиения соответственно областей Имеем

Мы считаем, что вторая сумма в этой цепи распространена только на полные квадраты соответственно первая — на соответствующие им "полные" параллелограммы А (см. теорему 3 в § 12.7). Переходя к пределу в (4) при получим формулу

В этом рассуждении можно считать, что функция непрерывна на и тогда функция будет непрерывной на и оба интеграла (5) существуют, а выше доказан факт равенства (5). Достаточно, впрочем, считать, что функция интегрируема на и тогда первая сумма в (4) имеет предел, когда что автоматически влечет существование равного ему предела второй суммы, когда существование второго интеграла (5), равного первому. Обратно, существование интеграла в правой части (5) влечет существование интеграла в левой.

В следующем параграфе дана более общая формула.