§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость

Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в n-мерном случае рассуждения аналогичны. Случай был специально рассмотрен в § 5.2.

Пусть на открытом множестве задана функция

имеющая в точке непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти частные производные существуют в некоторой окрестности хотя, быть может, они в точках, отличных от не являются непрерывными. Рассмотрим приращение соответствующее приращению

где достаточно мало, чтобы точка не выходила из указанной окрестности. Имеют место равенства (пояснения ниже):

Отметим, что соотношение эквивалентно трем соотношениям:

Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так: функция от (при фиксированных имеет по условию производную (по ) на отрезке и к ней применима теорема Лагранжа о среднем. Аналогичное пояснение ко второму и третьему членам (5). Переход от (5) к (6) чисто формальный: мы положили, например,

Но не формален здесь тот факт, что при Он следует из предположенной непрерывности Наконец, переход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет место равенство

В самом деле (см. § 6.2, (9)), при

Мы доказали следующую важную теорему.

Теорема 1. Если функция имеет непрерывные частные производные (первого порядка) в точке то ее приращение

в этой точке, соответствующее достаточно малому приращению можно записать по формуле

где частные производные взяты в точке

Так как значения частных производных в правой части (9) не зависят от то из теоремы 1 следует, что приращение соответствующее приращению может быть записано по формуле

где числа не зависят от

Сделаем следующее определение: если приращение функции в точке для достаточно малых может быть записано в виде суммы (10), где числа, не зависящие от то говорят, что функция дифференцируема в точке (х, Таким образом, дифференцируемость функции заключается в том, что ее приращение в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое есть линейная функция от она называется главной линейной частью приращения второе же слагаемое, вообще, сложно зависит от приращений но если стремить их к нулю, то оно будет стремиться к нулю быстрее, чем

Легко видеть, что если функция дифференцируема в точке т.е. представляется равенством (10), то она имеет в этой точке производные, равные:

Например, первое равенство (11) доказывается так. Пусть приращение в записывается по формуле (10). Если считать в последней то получим равенство После деления его на и перехода к пределу, получим

Из сказанного следует

Теорема 2. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Из (10) следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Пример 1. Функция равная нулю на координатных плоскостях и единице в остальных точках имеет, очевидно, частные производные, равные нулю в точке (0, 0, 0), но она, очевидно, разрывна в этой точке и потому не может быть в ней дифференцируемой. Таким образом, одного существования частных производных в точке недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности в этой точке.

Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При свойство дифференцируемости в х записывается в виде равенства следовательно, если то остаток стремится к нулю при быстрее главной части. При это уже не так; например, при каковы бы ни были числа одновременно не равные нулю, всегда можно стремить к нулю так, чтобы при этом постоянно выполнялось равенство но тогда в (10) остаточный член вообще больше главного. Впрочем, если мы заставим стремиться к нулю так, чтобы выполнялась пропорциональность то тогда главная часть приращения будет величиной, имеющей строго порядок и остаток будет стремиться к нулю быстрее главной части. Здесь предполагается, что одно из чисел отлично от нуля.

Если функция дифференцируема в точке то главная линейная часть ее приращения в этой точке называется еще дифференциалом в этой точке, соответствующим приращениям независимых переменных.

Он записывается так: других обозначениях мы будем еще говорить.

Рассмотрим поверхность описываемую функцией заданной в окрестности точки и плоскость

проходящую через точку

Расстояние от произвольной точки до вдоль равно

Если окажется, что

то это значит, что функция дифференцируема в и

Обратно, если функция дифференцируема в и числа определяются равенствами (15), то, как мы знаем, выполняется равенство (14).

Введем определение.

Плоскость вида (12) называется касательной плоскостью в точке поверхности заданной уравнением если расстояние от произвольной точки до вдоль стремится к нулю быстрее, чем т. е.

Мы доказали, что для того, чтобы у поверхности существовала в ее точке касательная плоскость, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируема в и тогда уравнение касательной плоскости к поверхности в точке Со имеет вид

Пример 2. Функция

очевидно, разрывна в любой точке, отличной от нулевой, в нулевой же точке она дифференцируема:

где . Таким образом, есть пример функции, дифференцируемой в точке, но не имеющей непрерывных частных производных в этой точке.

Примеры 1 и 2 показывают, что свойство функции быть дифференцируемой в точке слабее свойства иметь непрерывные частные производные в точке, но сильнее свойства иметь частные производные в точке.