§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей

Пусть нужно найти неопределенный интеграл

от рациональной действительной дроби.

Если степень многочлена не меньше степени то прежде всего разделим на по известным правилам:

Многочлен интегрируется без труда, а правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим через

Будем считать, что представляется в виде произведения (см. § 8.4, (10)). Тогда можно разложить на простейшие дроби по формуле § 8.5, (14), каждая из которых, как мы знаем, может быть проинтегрирована в элементарных функциях.

Мы доказали, что принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни и их кратности. Но мы уже говорили в § 8.4, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла (1) являются очень ценными.

Пример 1. Требуется найти интеграл Знаменатель в нем имеет кратные корни, и потому удобно применить метод Остроградского. Представляем интеграл в виде

где искомые постоянные. Дифференцируем это равенство и после приведения к общему знаменателю, равному приравниваем числители:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений

откуда

Разлагаем теперь подынтегральную функцию справа на простейшие дроби:

После приведения к общему знаменателю получим тождество (верное для любого

Подставляя в него получим Сравнивая коэффициенты при высшей степени х и члены, не содержащие получим еще откуда . Остается подставить найденные в (11) и проинтегрировать.