§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты

Формулы Френе имеют вид:

В плоском случае

Формула (1) — это формула (§ 6.9, (3)):

Так как то

т.е. проекции равны нулю, поэтому вектор направлен по и имеет вид где скаляр с считают удобным обозначить через Это приводит к формуле (2).

Величину называют кручением (кривой в точке s). Она может быть положительной и отрицательной. Докажем формулу (3). Из тождеств

следует

Отсюда

Формулы (2), (3) требуют, чтобы определяющая вектор-функция имела третью производную. Ведь для вычисления требовалось существование но теперь приходится дифференцировать. Пусть плоская гладкая кривая задана вектор-функцией

от дуги имеющей на некотором интервале изменения непрерывную производную третьего порядка и, кроме обычных условий удовлетворяющей условию

Уравнение эволюты кривой

можно тогда продифференцировать и, учитывая формулу Френе, получить

т. е.

Из (5) немедленно следует первое свойство эволюты. 1) Касательная к эволюте в ее точке есть нормаль к резольвенте в соответствующей точке

В самом деле, указанные нормаль к и касательная к проходят через центр О кривизны в точке Но нормаль коллинеарна вектору так же, как касательная к (в силу (5)). Из (5) следует

Но тогда эволюта есть гладкая кривая — производная не только существует и непрерывна, но и отлична от нуля. В таком случае эволюта имеет естественный параметр — длину дуги а. Будем отсчитывать ее так, чтобы она возрастала вместе с Тогда

(в известной формуле надо заменить соответственно на ). Тогда из (6) следует

В случае имеем

Отсюда

и мы получили второе свойство эволюты (в случае ).

2) Увеличение длины а эволюты влечет уменьшение на такую же величину радиуса кривизны.

Отсюда получаем следующий способ получения резольвенты по ее эволюте.

Рис. 6.15

Представим себе нить, накрученную на эволюту. Она сматывается с последней будучи все время натянутой. Отделяясь от эволюты, она, очевидно, будет все время касаться эволюты. Свободный же ее конец будет описывать эвольвенту (рис. 6.15). Так как длина нити может быть произвольной, то данная эволюта порождает бесчисленное множество эвольвент.

Изменение ориентации (изменение на ) влечет изменение ориентации , и тогда при возрастании (или а) будет возрастать Для нового параметра

и теперь увеличение длины дуги а влечет такое же увеличение радиуса