§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба

Говорят, что кривая обращена в точке выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность такая, что для всех ее точек х касательная к кривой в точке (т. е. в точке, имеющей абсциссу ) расположена выше (ниже) самой кривой (рис. 5.7; здесь в точке кривая обращена выпуклостью книзу, в точке кверху).

Рис. 5.7

Говорят, что точка есть точка перегиба кривой если при переходе через точка кривой (имеющая абсциссу ) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. 5.7 точка точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое такое, что для всех кривая находится с одной стороны касательной в , а для всех с другой.

Указанные определения выделяют возможные расположения кривой относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Вспомним о кривой, являющейся

графиком функции

Ось пересекает и касается этой кривой в точке не есть точка перегиба.

Теорема 1. Если функция имеет в точке вторую непрерывную производную и то кривая обращена в выпуклостью книзу (кверху).

Доказательство. Разлагаем в окрестности по формуле Тейлора:

Заметим, что графиком функции

является касательная к кривой в точке Поэтому остаток равен величине превышения кривой над касательной к ней в точке . В силу непрерывности если то и для принадлежащих достаточно малой окрестности точки а потому, очевидно, и для любого отличного от о значения принадлежащего указанной окрестности.

Аналогично рассматривается случай

Теорема 2. Если функция такова, что производная непрерывна в то кривая имеет в точку перегиба.

Доказательство. В этом случае по формуле Пеано

В силу того факта, что следует, что функция в квадратных скобках сохраняет знак в некоторой окрестности точки он один и тот же справа и слева от точки . С другой стороны, множитель меняет знак при переходе через а вместе с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в меняет знак при переходе через Это доказывает теорему. Сформулируем более общую теорему.

Теорема 3. Пусть функция обладает следующими свойствами:

непрерывна в

Тогда если — четное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если — нечетное число, то есть точка перегиба кривой.

Если дополнительно к приведенным уже условиям еще

то, если — четное число, функция достигает в точке локального максимума или минимума в зависимости от того, будет ли или а если — нечетное число, то в точке нет экстремума.

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора:

а при дополнительном условии (1) это разложение превращается в следующее:

В заключение заметим, что говорят также, что кривая имеет точку перегиба в точке где производная равна или (см. рис. 5.1, в, г и замечания к ним).