§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля

Лемма. Пусть задана последовательность прямоугольников

вложенных друг в друга с диаметром стремящимся к нулю Тогда существует единственная точка принадлежащая всем

Доказательство. Из условия леммы следует, что при каждом отрезки вложены друг в друга и длина их стремится к нулю при поэтому в силу аксиомы о вложенных отрезках для каждого существует единственное число принадлежащее всем отрезкам одновременно. Точка имеющая своими координатами числа очевидно, и есть та точка, о которой говорится в лемме.

Лемма Бореля. Пусть некоторая бесконечная система открытых множеств V (например, открытых кубов или шаров) покрывает замкнутое ограниченное множество . Тогда в этой системе существует конечное число указанных множеств V, все же покрывающих

Доказательство. Будем доказательство вести в трехмерном случае . В n-мерном случае рассуждения те же — только кубы пришлось бы делить не на 8, а на частей.

Так как множество ограничено, то существует куб которому принадлежит Допустим, что лемма неверна. Разделим А на 8 равных частичных кубов. Тогда среди последних, очевидно, обязательно найдется такой (обозначим его через что теорема для множества также неверна (любая конечная система множеств V не покрывает Разделим на 8 равных кубов; среди них найдется снова такой (обозначим его через что для множества теорема неверна. Продолжив этот процесс неограниченно, получим систему включенных друг в друга кубов диаметры которых стремятся к нулю, таких, что для множествами теорема неверна. Существует (в силу предыдущей леммы) точка принадлежащая всем . В силу замкнутости она принадлежит и потому покрыта некоторым множеством нашей системы. Так как открытое множество, то при некотором достаточно большом k. Следовательно,

Мы пришли к противоречию, потому что, с одной стороны, покрывается одним множеством с другой, — не существует никакой конечной системы множеств V, покрывающих