§ 7.20. Локальный относительный экстремум

Лемма 1. Пусть в задан вектор а и линейно независимые векторы Для того чтобы имело место представление

где некоторые числа, необходимо и достаточно, чтобы всякий вектор с, ортогональный ко всем Ы:

автоматически был ортогонален к а:

Доказательство. Если имеет место (1), то (2) влечет

и мы доказали необходимость условия леммы.

Перейдем к доказательству достаточности. Ортогонализируя систему получим ортонормированную систему обладающую тем же свойством: из равенств следует, что

Разложим вектор а по векторам

Вектор ортогонален ко всем но тогда следовательно,

Но тогда

Пусть есть открытое множество n-мерного пространства и определенные на функции. Обозначим через множество точек х, для которых выполняются одновременно равенства (связи):

По определению точка есть точка локального относительного максимума (минимума) функции при наличии связей (4), если и существует такое, что для всех удовлетворяющих неравенству имеет место в случае максимума и в случае минимума.

Точка локального относительного максимума или минимума называется точкой локального относительного экстремума.

Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых условиях, чтобы была точкой локального относительного экстремума.

Будем предполагать, что на функции имеют непрерывные частные производные. Больше того, будем предполагать, что в точке ранг матрицы

равен . Таким образом, среди определителей порядка порождаемых этой матрицей, имеется не равный нулю. Для определенности будем считать, что это есть определитель

Мы считаем, что символ обозначает тот факт, что в функцию, стоящую в скобках, вместо х подставлено На основании теоремы о неявных функциях существуют прямоугольник

и (единственные) непрерывно дифференцируемые функции

описывающие точки Имеют место тождества

Можно, таким образом, считать, что у каждой точки координаты независимые, зависимые от них (см. (7)). Иногда мы будем называть всю систему состоящей из зависимых переменных. Соответственно дифференциалы независимые (произвольные числа), зависимые от них при помощи равенств

Если продифференцировать уравнения связи (4), то получим дифференциальные уравнения связи

Если задать произвольные числа то можно получить или по формулам (9), или решая систему (10) — это все равно (см. § 7.19).

Рассматривая уравнения (4), мы будем говорить, что переменные удовлетворяют им, а дифференциалы этих переменных удовлетворяют дифференциальным уравнениям связи (10).

В задаче на относительный экстремум мы рассматриваем функцию

где х подчиняется связям Таким образом, есть функция от, вообще говоря, зависимых переменных: удовлетворяющих условиям связи. Но в окрестности точки ее можно рассматривать как функцию от независимых переменных

Очевидно, точка есть точка относительного максимума (минимума) функции тогда и только тогда, когда есть точка абсолютного максимума (минимума) функции Но тогда есть стационарная точка функции т.е. точка, в которой частные производные первого порядка от равны нулю.

Точка называется стационарной точкой функции на множестве (определенном связями (4)), если (при условии есть стационарная точка функции

Ближайшая наша задача — изложить метод Лагранжа отыскания стационарных точек (на Е). В этом изложении свойства функции будут для нас руководящими. Однако в окончательных результатах функция не будет участвовать. В этом, собственно, и заключается метод — выразить окончательные результаты в терминах функций и их частных производных.

Заметим, что из (11) следует на основании инвариантного свойства первого дифференциала:

где независимые дифференциалы, зависимые, такие, что система удовлетворяет (10).

Итак, пусть есть стационарная точка на Тогда (при условии есть стационарная точка т. е. выполняются равенства

Равенства (13) эквивалентны одному равенству

которое должно быть верным для произвольных (независимых между собой) . В самом деле, из (13) следует (130 при любых Обратно, если верно (130 для любых дифференциалов то, в частности, оно верно, когда один из этих дифференциалов равен 1, а остальные равны нулю, а это приводит к равенствам (13).

Теперь из (12) и (130 следует

для любых удовлетворяющих системе (10).

Мы доказали, что точка является стационарной для нашей задачи тогда и только тогда, когда выполняется равенство

для любых удовлетворяющих системе

Равенства (14), (15) записываются коротко в виде

где

При этом векторы образуют линейно независимую систему, потому что матрица имеет ранг (см. (5)).

Теперь можно сказать, что точка есть стационарная точка при наличии связей (4) тогда и только тогда, когда для этой точки всякий вектор ортогональный градиентам ортогонален к .

Тогда согласно лемме 1 для точки существует единственная система чисел для которой

Мы получили векторное равенство (16), которое вместе с равенствами (см. (4))

дает возможность найти точки вместе с соответствующими им системами чисел

На языке проекций векторному уравнению (16) соответствует скалярных уравнений. Вместе с (4) они составляют уравнений относительно неизвестных

Итак, стационарные точки нашей экстремальной задачи являются решениями (вместе с системами уравнений (4) и (16).

Изложенный метод называется методом Лагранжа, предложившего этот метод.

На практике, решая эту задачу, рассуждают так. Вводим функцию Лагранжа

где числа множители Лагранжа — пока неизвестны. Приравниваем частные производные от нулю:

и решаем эти уравнения вместе с уравнениями связи (4) относительно

Переходим к обоснованию достаточного признака экстремума. Считаем, что функции дважды непрерывно дифференцируемы на Тогда описывающие множество функции (7) автоматически дважды непрерывно дифференцируемы так же, как функция

Пусть стационарная точка задачи и ее лагранжевы числа. Для точек

где лагранжева функция (точки ), а координаты функции (от ) с дифференциалами удовлетворяющими условиям связи

Независимым переменным придаем (независимые) дифференциалы и вычисляем соответствующие дифференциалы функций (18):

Надо учесть, что числа удовлетворяют системе (19).

Дифференцируя еще раз (20), получим

Полагаем теперь в этом равенстве Так как стационарная точка ее лагранжевая функция, то

Поэтому окончательно получаем равенство

где в левой части дифференциалы независимы, а в правой — дифференциалы подчиняются связям

Теперь можно сделать заключение.

Пусть для нетривиальных (не равных нулю одновременно) векторов удовлетворяющих связям (19), квадратическая форма справа в (21):

а) строго положительна;

б) строго отрицательна;

в) не строго положительна;

г) не строго отрицательна;

д) неопределённая (положительна для одного вектора и отрицательна для другого).

Тогда эти же свойства соответственно имеют место для квадратической формы слева в (21) для независимых векторов

Следовательно, на основании теории локального абсолютного экстремума в указанных случаях имеет место:

а) локальный относительный минимум;

б) локальный относительный максимум;

в), г) не известно;

д) нет локального экстремума.

Надо учесть, что всевозможные нетривиальные системы удовлетворяющие связям, порождают в качестве своих проекций всевозможные системы нетривиальных независимых векторов

Схема решения задачи на относительный экстремум на области сводится к следующему.

Выделяется на подмножество точек х, в которых функции имеют непрерывные частные производные, а матрица имеет ранг На описанным выше способом находятся стационарные точки. Каждая из них затем исследуется на экстремум. Если в ней существуют непрерывные частные производные второго порядка, то может оказаться эффективным метод исследования второго дифференциала функции Лагранжа Точки исследуются особо.

Пример 1. Найдем локальные экстремумы функции на окружности :

Функции дважды непрерывно дифференцируемы на всей плоскости. Кроме того, ранг матрицы

равен 1 (т.е. количеству связей) на всей плоскости х,у, за исключением точки Но последняя не находится на Г. Следовательно, точки, где возможен локальный экстремум, находятся только среди стационарных точек.

Приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа задачи получим уравнения

Решая их вместе с уравнением (23), получим четыре пары стационарных точек соответствующих всевозможным распределениям Паре соответствуют и лагранжева функция

Второй дифференциал от в точке имеет вид . В силу (23)

откуда и окончательно получаем

где независимый дифференциал. Следовательно, в точке имеет место локальный относительный максимум задачи, равный Легко заключить, используя симметрические свойства что в точке имеет место другой локальный относительный максимум, равный 1/2.

Так как окружность есть ограниченное замкнутое множество и непрерывная на функция должна достигать на своего максимума и так как максимум на необходимо есть локальный максимум на то аналогично,