§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд с комплексными членами

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

модулей его членов.

Абсолютно сходящийся ряд сходится. В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого найдется такое что для всех значенийр и Тем более, тогда Поэтому в силу критерия Коши ряд (1) сходится.

Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным образом сходятся абсолютно. Ряд сходится, потому что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно он сходится только при

Теорема 1. Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов абсолютная сходимость полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается прежней.

Доказательство. Сначала докажем теорему в случае, когда члены ряда действительные числа. Положим (для действительных

числа очевидно, неотрицательные и

Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда,

(с неотрицательными членами).

Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его — действительные числа Тогда ряды (5) сходятся, потому что, очевидно,

Пусть ряд, по лученный после перестановки исходного ряда (1), имеет вид Для его членов введем, как выше, числа Тогда (пояснения ниже)

Первое равенство в этой цепи следует из (4), второе — из § 11.2, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье следует из того, что сходящиеся ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 11.2, (2) и, наконец, пятое — потому, что Теорема для действительных доказана.

Пусть теперь - комплексные числа, а числа имеют прежний смысл. Так как то ряды с (действительными членами) абсолютно сходятся и члены их, как было доказано, можно переставлять. Поэтому, считая, что получим

Теорема доказана полностью.

Теорема 2. Пусть ряды абсолютно сходятся и произведения перенумерованы каким-либо способом (при помощи одного индекса) и обозначены Тогда справедливо равенство

где справа абсолютно сходится. Доказательство. Положим

Имеем (пояснения ниже)

Ряды с членами по условию сходятся, и потому первое равенство (6) имеет смысл. Так как пределы существуют, то существует предел и равен их произведению — это выражено вторым равенством. В третьем предел заменен на

сумму соответствующего ряда, членами которого являются выражения в скобках. В четвертом равенстве скобки формально раскрываются. При составлении этих сумм может помочь рис. 11.1 (в скобки попадают слагаемые соответствующие целочисленным точкам лежащим на непрерывных жирных линиях вида . В силу того, что внутри скобок стоят суммы неотрицательных слагаемых, после их раскрытия полученный ряд продолжает сходиться к той же сумме. В последнем, шестом, равенстве в ряду с неотрицательными членами переставлены члены, что законно.

Рис. 11.1

Подобные преобразования сделаем для исходных рядов:

В предпоследнем равенстве формальное раскрытие скобок законно, потому что получился сходящийся, даже абсолютно сходящийся, ряд, как это выяснено при рассмотрении (6). В последнем равенстве переставлены члены в абсолютно сходящемся ряде, что тоже законно. Важный пример (поясненияниже):

Перемножаемые ряды абсолютно сходятся для любых комплексных поэтому их можно (на основании теоремы 2) перемножить, как если бы это были многочлены. При этом произведения можно расположить в любом порядке, составленный из них ряд абсолютно сходится.

В данном случае выгодно члены сгруппировать так, чтобы в группу попали произведения, соответствующие целочисленным парам где