§ 5.14. Раскрытие неопределенностей

В нашем распоряжении теперь имеются очень сильные методы дифференциального исчисления: теоремы о среднем и формула Тейлора. С их помощью можно автоматизировать вычисление многих пределов, приводящих при грубом применении обычных правил к неопределенностям вида

Случай 0/0. Требуется вычислить Нтжа в предположении, что в окрестности а.

Пусть а — конечное число и для функций найдены главные степенные члены (относительно :

Тогда (см. § 4.10, (10))

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Но функции могут не иметь производных в точке а или почему-либо может быть затруднительно или нежелательно вычисление их в этой точке. Тогда может быть полезна следующая общая теорема, доказательство которой основано на применении теоремы Коши о среднем.

Теорема 1. Пусть функции непрерывны и имеют производные в окрестности точки а (а — число или ), за исключением, быть может, точки а; при этом не равны нулю в указанной окрестности и

Тогда если существует предел

(конечный или бесконечный), то существует также равный ему предел

В частности, здесь речь может идти о правом или левом пределе, и тогда под окрестностью а понимается правая или левая ее окрестность.

Доказательство. Пусть — число (конечное). Тогда, полагая Нтжа мы получим, что функции непрерывны в точке а. Это свойство вместе со сформулированными в теореме свойствами позволяет применить к функциям теорему Коши. Таким образом, какова бы ни была точка х из указанной окрестности, найдется между их точка такая, что

Если существует предел (1), то, очевидно, также существует предел

а следовательно, и предел (2).

Итак, существование второго предела в (2) влечет существование равного ему первого предела в (2). Обратное утверждение неверно.

Пример 4. В силу того, что ,

С другой стороны, соответствующее отношение производных равно

Оно, очевидно, не стремится ни к какому пределу при Это видно из того, что первый член правой части стремится к нулю, а второй не стремится к какому-либо пределу. Это не мешает тому, что после подстановки в (4) вместо х функции которая возникает в формуле Коши (3), получается такая функция от которая имеет предел при

Нам надо рассмотреть еще случай (или ). Сделаем подстановку Тогда получим функции от и. Они непрерывны в окрестности точки (при или в правой или левой окрестностях точки 0), имеют производные (по u) в этой окрестности и так же как не равны нулю в ней.

При этом

Далее, если существует то, очевидно, существует равный ему предел:

Поэтому на основании уже доказанного выше (для конечного а)

Этим теорема доказана.

Случай Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть функции непрерывны и имеют производные в окрестности (в частности, в правой или в левой окрестности) точки а (конечной или бесконечной), за исключением самой точки а. При этом в указанной окрестности и

Тогда если существует

то существует равный ему предел

Доказательство, зададим произвольную последовательность точек стремящуюся к

Так как по условию то каждому натуральному к можно привести в соответствие натуральное такое, что

Следовательно,

Поэтому (см. теоремы 1 и 2 § 4.10) для некоторых

потому что при к следовательно, Мы доказали, что из всякой последовательности можно выделить подпоследовательность для которой

Но тогда (см. теорему 9 § 4.1) существует предел

и выполняется равенство (10).

В равенстве (10) существование второго предела влечет существование ему равного первого, но не наоборот, как показывает следующий пример: предел

существует, между тем как предел при отношения производных не существует.

Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела

отношения их производных, называют правилом Лопиталя, по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.

Другие неопределенности. Нам остается еще рассмотреть другие виды неопределенностей. Их можно свести к предыдущим.

Если то пишем и получаем неопределенность вида

Если же то пишем что приводит к неопределенности вида

Выражения приводящие к неопределенностям удобно логарифмировать, что приводит к неопределенностям вида

Например, если предел показателя степени в правой части конечный. Если же последний равен то предел левой части равен соответственно

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.