§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции

Функцию мы называем гладкой на отрезке если она имеет непрерывную производную на этом отрезке.

В этом определении под производной в точках понимается соответственно правая и левая производная в этих точках. Гладкая на функция автоматически непрерывна на ведь она имеет всюду на производную.

Другое эквивалентное определение гласит: функция гладкая на если она непрерывна на отрезке и имеет на интервале непрерывную производную такую, что существуют пределы

Ясно, что первое определение влечет второе. Допустим теперь, что гладкая в смысле второго определения. Тогда

и, следовательно, имеет производную (правую) в точке а, равную . В силу первого равенства (1) она непрерывна (справа) в этой точке. Аналогично доказывается существование и непрерывность производной в точке и равенство Следовательно, гладкая также и в смысле первого определения.

Функция называется кусочно непрерывной на отрезке если он может быть разделен точками:

так, что окажется непрерывной на каждом интервале . Но при этом существуют пределы

Функцию назовем кусочно гладкой на отрезке если он может быть разделен точками:

в конечном числе так, что окажется непрерывной вместе с производной на каждом частичном интервале и при этом существуют пределы

Таким образом, функция делается гладкой на отрезке если положить

На рис. 5.16 изображен график функции целая часть очевидно, кусочно гладкой.

Рис. 5.16

Важным частным случаем кусочно гладкой функции является непрерывная кусочно гладкая на отрезке функция . Для нее имеют место следующие характерные свойства:

1) непрерывна на существует разбиение (3) отрезка такое, что является гладкой функцией на каждом из частичных отрезков

Упражнения.

(см. скан)