§ 12.19. Площадь поверхности

Зададим в трехмерном пространстве где определена прямоугольная система координат поверхность описываемую уравнением

Мы предполагаем, что есть измеримая открытая область, а функция имеет непрерывные частные производные

на (см. § 7.11). Мы еще будем называть нашу поверхность гладким куском, проектируемым на плоскость

Произведем разбиение на конечное число измеримых (в двумерном смысле) частей пересекающихся попарно разве что по своим границам. Пусть произвольная точка . Ей соответствует точка с координатами где . В точке проведем плоскость касательную к

Обозначим через кусок проекцией которого на плоскость служит множество Площадь обозначим через По определению площадью поверхности называется предел

Косинус острого угла нормали в точке с осью (см. § 7.5, (6)) равен где квадратный корень взят со знаком обозначают результаты подстановки в значений Мера равна и

Мы получили формулу площади поверхности, заданной в явном виде (1).

Покажем, как преобразуется интеграл (2), если сделать в нем подстановку

приводящую во взаимно однозначное соответствие измеримые области в предположении, что непрерывно дифференцируемы на О и якобиан

Положим На основании теоремы о замене переменных в кратном интеграле получим равенство (см. § 7.26, (4)).

из которого следует, что площадь поверхности выражается формулой

Отметим равенство

где

Формула (5) может служить основанием для определения понятия площади поверхности, заданной параметрически, не обязательно проектирующейся в целом на одну из плоскостей координат.

Гладкая поверхность может быть задана параметрически при помощи параметров

где измеримая область плоскости параметров имеют непрерывные частные производные на Знак указывает на тот факт, что равенство (6) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками .

Так как измеримое множество, то оно ограничено и потому имеет непустую границу . Она отображается при помощи равенства (6) на край нашей поверхности. Мы не требуем, чтобы отображение на было взаимно однозначным. Имеется много важных примеров, когда этого нет (см. примеры ниже).

По определению назовем площадью (или ) величину

Перечислим ряд свойств интеграла (7), показывающих естественность введенного определения.

1) Величина инвариантна относительно допустимых преобразований параметров, т. е. если

где непрерывно дифференцируемы на и

то

2) Пусть поверхность проектируется на плоскость Точнее, пусть равенства

устанавливают взаимно однозначное соответствие между измеримыми областями с якобианом

Тогда для функции где решения уравнений (8), в случае, если она имеет не только непрерывные (как это следует из теоремы о неявных функциях), но и равномерно непрерывные на производные имеет место равенство

Оно уже было доказано выше (см. (5)).

Таким образом, новое определение площади поверхности совпадает с исходным определением, если имеет место ситуация, возможная для последнего.

Заметим, что если бы свойство равномерной непрерывностир и на не соблюдалось, а были только непрерывными и ограниченными на то все равно выполнялось бы равенство (10), потому что все условия для замены переменных в интеграле и в этом случае соблюдаются.

Больше того, если непрерывны, но не ограничены на (в то время как функции имеют непрерывные частные производные на ),

то все равно равенство (10) остается верным, если понимать интеграл в его правой части в несобственном смысле (см. ниже пример 1).

Выражение называется дифференциальным элементом поверхности Площадь части , соответствующей изменению и от и до и от до равна

Во втором равенстве этой цепи применена теорема о среднем, в третьем в выражении заменена точка на за счет прибавления слагаемого которое в силу непрерывности функции стремится к нулю при

Таким образом, можно определить как (единственную!) величину вида где А не зависит от отличающуюся от на

Пример 1. Площадь шаровой поверхности. Уравнения

определяют гладкую поверхность часть шара радиуса 1 с центром в нулевой точке, из которого выброшен меридиан Условия (6) здесь выполняются. В частности, имеет место взаимно однозначное соответствие Однако уравнения (11) не устанавливают взаимно однозначного соответствия между Край поверхности есть указанный выше меридиан. Каждому из его концов в силу равенств (11) соответсвует бесконечное множество точек , заполняющих противоположные стороны , а каждой прочей точке соответствует пара точек , лежащих на других противоположных сторонах .

Поверхность единичного шара есть замыкание поверхности описанной параметрически уравнениями (11). На основании формулы (7)

Заметим, что площадь поверхности нашего единичного шара можно рассматривать как сумму площадей восьми конгруэнтных кусков, вырезаемых из координатными плоскостями. Один из них находящийся в положительном октанте, описывается непрерывной функцией с неограниченными частными производными

Мы уже отмечали, что в этом случае можно вычислить площадь по формуле (2) площади поверхности в декартовых координатах, понимая, однако, интеграл в несобственном смысле (см. конец § 13.13, замечание 1):

Формулу для элемента площади сферической поверхности радиуса можно усмотреть из геометрических соображений. Сеть близких друг к другу меридианов и параллелей разрезает нашу шаровую поверхность на элементарные частицы. Площадь такой частицы, близкой к точке может быть, очевидно, оценена следующим образом:

Отсюда

Пример 2. Площадь поверхности тора

Чтобы воспользоваться приведенными выше рассуждениями, придется эту поверхность рассматривать как замыкание гладкой поверхности описываемой уравнениями (12), где пробегает область

В этом случае соотношения (6) и сопровождающие их условия непрерывной дифференцируемости будут выполняться, если считать поэтому

Пример 3. Рассмотрим круговой цилиндр радиуса и высоты Его боковую поверхность обозначим через а ее площадь через Разрежем равностоящими плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра, так, чтобы соседние плоскости находились на расстоянии, равном Эти плоскости пересекают по окружностям которые мы перенумеровали по порядку снизу вверх по направлению оси. Окружность разделим равноотстоящими точками на равных частей. Эти точки мы тоже перенумеруем в порядке их следования по Со, кроме того, через каждую из них проведем образующую нашей цилиндрической поверхности которая пересечет окружность в некоторых точках. Полученные точки на С к мы тоже занумеруем, руководствуясь правилом, что точки всех лежащие на одной и той же образующей, имеют один и тот же номер. Теперь на окружностях с четными к оставим только точки с четными номерами, а на

окружностях с нечетными к — только точки с нечетными номерами. В результате на поверхности а нанесено некоторое конечное число точек. Каждые три соседние такие точки являются вершинами некоторого треугольника А, а вся совокупность последних образует некоторую многогранную поверхность сгдг, вписанную в а. Чтобы не было недоразумений, отметим, что две из любых трех точек суть соседние точки, лежащие на а третья лежит на или и образующая, к которой она принадлежит, находится между (в меньшем центральном углу) образующими, к которым принадлежат первые две точки.

Число треугольников А, очевидно, равно , площадь же каждого А равна

Но тогда

несмотря на то, что при диаметр А стремится к нулю.

Мы видим, что площадь поверхности нельзя определить как предел площади вписанной в нее многогранной поверхности со стремящимся к нулю максимальным диаметром ее граней. Такое определение неэффективно даже для очень простых поверхностей.