§ 9.10. Видоизменение функции
Теорема. Если функция 
интегрируема на 
то после видоизменения ее в конечном числе точек отрезка 
она останется интегрируемой без изменения величины интеграла.
Доказательство. Ясно, что видоизмененная функция
где 
равна нулю всюду на 
за исключением указанных в условии теоремы точек. Ясно также, что интеграл от 
на 
равен нулю. Поэтому 
интегрируема и
До сих пор при исследовании функции 
на интегрируемость мы предполагали, что 
задана во всех точках 
Из доказанной теоремы мы видим, что интегрируемость 
не зависит от того, какие значения принимает 
на конечной системе точек отрезка 
Но раз так, то можно и не предполагать, что 
задана на этих точках. В этом смысле мы будем говорить об интегрируемости ограниченной функции на 
заданной на самом деле на множестве, полученном выбрасыванием из 
конечного числа точек, например об интегрируемости 
или 
на [0,1]. Обе эти функции непрерывны и ограничены только на (0,1], но говорят, что они интегрируемы на [0,1].
