§ 12.16. Полярные координаты в плоскости

Система уравнений

осуществляет преобразование полярных координат в декартовы. Правые части (1) — непрерывно дифференцируемые функции с якобианом

Введем чисто формально новую плоскость с декартовой системой в и принадлежащую ей область

Очевидно, преобразование (1) взаимно однозначно отображает на плоскость без луча . К тому же на якобиан больше нуля.

Пусть в плоскости задана произвольная измеримая (в двумерном смысле) область, а на ее замыкании — непрерывная функция Выкинем из этой области точки луча если они есть, и оставшееся множество обозначим через Будем считать, что

есть область или сумма конечного числа непересекающихся попарно областей. Множеству соответствует в силу (1) некоторое множество (которое предполагается измеримым), Справедливо равенство

потому что мы находимся в условиях теоремы о замене переменных в кратном интеграле непрерывна на преобразование (1) непрерывно дифференцируемо на с якобианом

В полученной формуле (4) можно теперь заменить соответственно на их замыкания потому что этим добавляются только множества двумерной меры нуль.

Если область имеет вид сектора, ограниченного лучами и непрерывной кривой то

Рис. 12.17

Впрочем, формулу (4) можно получить из естественных геометрических соображений, не прибегая к искусственной декартовой плоскости Плоскость разбиваем на элементарные фигуры близкими концентрическими окружностями и выходящими из нулевой точки лучами (рис. 12.17). Площадь каждой такой элементарной фигуры (возле точки или, как говорят, элемент площади в полярных координатах, равна с точностью до бесконечно малых высшего порядка Поэтому, если наш интеграл просуммировать по этим элементам, получим

Пример 1.

Замечание. Операция (1) непрерывна на замыкании области и устанавливает взаимно однозначное соответствие но при этом взаимно однозначного соответствия между границами нет (см. теорему 1 из § 12.14).