§ 5.16. Схема построения графика функции

Если нужно в общих чертах представить себе график функции могут помочь следующие указания.

1. Найти область значений где функция определена.

2. Найти точки где или производная не существует, в частности равна Вычислить значения в этих точках: если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума, минимума. Если не определена в какой-либо из точек то важно знать пределы важно также определить пределы

если они имеют смысл.

Рис. 5.11

3. Область разделяется точками на интервалы на каждом из которых Среди них могут быть бесконечные интервалы (вида или ). Будем считать, что производная непрерывна на каждом таком интервале Тогда на сохраняет знак. Важно выяснить этот знак, тогда станет известно, будет ли возрастать или убывать на

4. Важно отметить на каждом интервале точки

где и определить соответствующие значения функции

В этих точках могут быть точки перегиба кривой Эти точки в свою очередь делят на интервалы, на которых вторая производная, если она существует, сохраняет знак.

Выяснение знака дает возможность узнать направление выпуклости кривой (вверх или вниз).

5. Если возможно, надо решить уравнение и выяснить интервалы, на которых сохраняет знак или

6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, т. е. найти пределы

если они существуют.

На основе этих сведений желательно составить таблицу примерно следующего вида:

(см. скан)

На основании данных этой таблицы график функции имеет вид, как на рис. 5.12.

Рис. 5.12

Конечно, этот график передает нам точные значения только в трех точках остальные значения взяты на глаз, но он дает представление об общем поведении функции. Если бы мы захотели протабулировать ее более детально, например вычислить ее на некотором интервале для значений отстоящих друг от друга на 0,001, то пришлось бы воспользоваться теми или иными вычислительными устройствами (калькулятором и др.), но и в этом случае для ориентации предварительно полезно узнать схематический график функции, подобный рис. 5.12.

Пример. Построить кривую, заданную параметрически:

Решение. Построим сначала график функции Эта функция задана на всей оси, неограниченная, непрерывная и дифференцируемая на при при при Далее, Уравнение имеет единственный корень При этом, очевидно, при при Таким образом, функция возрастает при и убывает при . В точке функция имеет локальный минимум, На самом деле, это, очевидно, минимум на

Исследуем функцию на выпуклость: при при Значит, на график выпуклый вверх, а на выпуклый вниз, точка перегиба. Далее,

т. е. горизонтальная асимптота.

На основании этого график функции имеет вид, как на рис. 5.13. Область значений функции есть

Рис. 5.13

Рис. 5.14

Аналогично можно построить график функции (рис. 5.14). Область значений этой функции есть На функция строго возрастает от в точке достигает максимума (локального и на На интервале она строго убывает к нулю при и имеет, таким образом, асимптоту при Отмечена еще точка в которой кривая имеет перегиб. На кривая обращена выпуклостью вверх и на вниз.

Теперь мы переходим к более трудной задаче — начертить схематический график кривой (1). Обозначим ее через Функции, определяющие непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз. Мы используем только тот факт, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы. Отметим, что гладкая кривая, потому что производные (по от функций одновременно не равны нулю.

Обозначим через ветви на которых соответственно Таким образом (см. рис. 5.13 и 5.14), соответствует изменению соответствует изменению

Рис. 5.15

На функция строго убывает от до и ее можно обратить, а функция строго возрастает от до Отсюда следует, что ветвь описывается явной функцией

Она изображена на ниже точки А. Когда возрастает от до , абсцисса х точки убывает от до , а ордината у возрастает от до . Так как то касательная в точке А параллельна оси у. К тому же расположена правее касательной — ведь на рис. 5.13 видно, что все точки имеют абсциссу

В любой точке кривой отличной от А, т. е. при производная не равна нулю и

Отсюда

Нас сейчас интересует значение которому соответствует точка

Из (3) видно, что если (т. е. на части ниже точки В), то обращена выпуклостью вверх. Если же

(т.е. на дуге то обращена выпуклостью вниз. Таким образом, В есть точка перегиба

Переходим теперь к Как видно из рис. 5.13 и 5.14, на интервале функции строго возрастают, но тогда и функция от

строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале обращен выпуклостью вверх (см. (3)). Это изображено дугой Что же касается точки С, то в ней и так как в ней к тому же график обращен выпуклостью вверх, то С есть точка локального максимума функции При (т. е. возрастает, убывает к нулю. Это показывает, что при функция стремится к нулю, убывая. При этом есть точка перегиба графика Слева от этой точки график обращен выпуклостью вверх, а справа — вниз (см. (3)).