§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным

Пусть на прямоугольнике

задана ограниченная функция

Теорема 1. Имеет место равенство

верное при условии, что интегрируема на А (т.е. интеграл слева в (2) существует), а для любого существует одномерный интеграл

В частности, эти условия выполняются для функции непрерывной на А (см. § 12.8).

Если ввести обозначения

то формула (2) запишется в виде

В таком виде эта формула обобщается. Можно считать, что рассматривается -мерное пространство

и в нем задан прямоугольник

На задана ограниченная интегрируемая функция При этом предполагается, что интеграл существует для любого Тогда имеет место равенство (2), где уже теперь

Доказательство в обоих случаях (2) и (2) аналогично. В случае (2) может помочь рис. 12.5.

Доказательство. Положим

Теорема будет доказана, если будет установлено, что функция интегрируема на и интеграл от нее по существует и равен левой части (2):

Составим интегральную сумму для на Для этого разрежем на равные прямоугольники и в каждом из них

выберем точку Соответствующая интегральная сумма имеет вид

Разрежем теперь тоже на равные прямоугольники Соответственно весь прямоугольник разрежется на -мерные частичные прямоугольники

а равенство (4) можно записать и так:

Рис. 12.5

Теперь под интегралом в правой части (6) стоит функция от Положим

Очевидно, наша функция будет удовлетворять неравенствам

Соответственно

и

Если обозначить через разбиение (5) прямоугольника на частичные прямоугольники то неравенства (7) можно записать так:

где суть нижняя и верхняя интегральные суммы на А. По условию интегрируема на А, и потому и если есть соответствующий интеграл, то Но тогда и из (8) следует, что функция интегрируема на и выполняется равенство (3), которое мы хотели доказать.

В общем случае сведение вычисления кратных интегралов к последовательному интегрированию по каждой переменной в отдельности основывается на лемме, доказываемой ниже.

Пусть ограниченное множество. Обозначим через его проекцию на ось . В частности, если область, то интервал, а если замыкание области, то отрезок где Обозначим еще через сечение плоскостью т.е. множество точек вида

Теорема 2. Справедливо равенство

всегда верное, если ограничена на измеримое одномерное множество и интегралы и (для любого ) имеют смысл.

Доказательство. Поместим в некоторый n-мерный прямоугольник где Это возможно, потому что измеримо, следовательно, ограничено. Продолжим функцию на А, положив

Теперь имеем (пояснения ниже)

Первое равенство в этой цепи верно в силу того, что и А измеримы, интегрируема на А.

Второе — по теореме 2. Ведь, кроме того, что функция интегрируема на она при фиксированных допустимых как функция от интегрируема на следовательно, и на А, потому что она равна нулю вне

Третье равенство верно, потому что измеримо, для и для когда

Пример 1. Площадь эллипса (рис. 12.6) вычисляется следующим образом (пояснения ниже):

Первое равенство в этой цепи следует из того, что измеримое в двумерном смысле множество, ведь его граница — гладкая кривая.

Второе — из доказанной выше леммы. Ведь есть измеримая проекция на ось и сечение эллипса прямой, параллельной оси у, проходящей через точку есть отрезок т.е. измеримое в одномерном смысле множество, на котором функция, равная 1, интегрируема.

Пример 2. На рис. 12.7 изображено замкнутое множество с границей состоящей из двух кусочно гладких замкнутых контуров и точки.

Рис. 12.6

Рис. 12.7

Таким образом, измеримое в двумерном смысле. Его проекция на ось х есть отрезок Любое его сечение прямой, параллельной оси у, проходящей через точку есть отрезок, или система двух отрезков, или точка, — все измеримые в одномерном смысле замкнутые множества. Поэтому если непрерывна на то она интегрируема на О и на любом указанном сечении применима доказанная лемма:

Пример 3. Объем может быть вычислен следующим образом (пояснения ниже):

При переходе к предпоследнему члену цепи сделана подстановка

Множество измеримо, ведь граница состоит из двух непрерывных кусков поверхности

каждый из которых проектируется взаимно однозначно на замкнутое ограниченное множество плоскости

Измеримыми и замкнутыми являются также сечения плоскостями и прямыми, параллельными осям координат, соответственно в двумерном и одномерном смысле, ведь они, если они не пусты, представляют собой при сечении плоскостями эллипсы или точки, а при сечении прямыми — отрезки или точки.

Таким образом, функция 1 интегрируема на и на всех указанных сечениях и равенство (9) применимо.

Если функция ограничена и непрерывна на за исключением конечного числа точек, то для нее на основании теоремы 1 имеет место

потому что для любого функция по у ограничена и имеет на разве что конечное число точек разрыва, следовательно, интегрируема на

В частности, если

и функции ограничены и имеют конечное число точек разрыва соответственно на отрезках то

Распространение этих фактов на многомерный случай не представляет труда.