§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла

Теорема 1. Если интегрируема то она также интегрируема на и и наоборот. При этом

Доказательство. В силу основной теоремы существование интеграла от на влечет для любого существование разбиения отрезка для которого выполняется неравенство Будем считать, что содержит в себе точку с, ведь добавление с к сохраняет указанное неравенство. Разбиение индуцирует на и разбиения для которых очевидно

Отсюда в силу основной теоремы функция интегрируема на и на

Взяв теперь произвольные последовательности разбиений соответственно отрезков и со стремящимися к нулю максимальными частичными отрезками и полагая получим

Мы определили интеграл от на где а Но полезно расширить это определение, считая в случае что

При таком расширенном понимании символа равенство (1), как нетрудно проверить, сохраняется для любых а, с, если только существует интеграл на наибольшем среди отрезков

Мы считаем здесь, что отрезок, соединяющий точки а и даже называем отрезком точку а.

Теорема 2. Пусть интегрируемые на функции и С — постоянная; тогда функции: где на суть интегрируемые функции. При этом

Берем произвольное разбиение Тогда

потому что по условию интегралы от существуют. Таким образом, предел в левой части этих соотношений существует и равен правой части. Но это значит, что имеет место (3). Подобным образом

Мы доказали 1), 2), (3) и (3). Будем обозначать:

Будем считать, что Имеем для произвольных

Взяв верхние грани левых частей полученных неравенств по умножив их на и просуммировав по получим

(мы опустили ). Но вследствие интегрируемости правые части при где достаточно мало, можно сделать как угодно малыми, но тогда и левые. В случае (5) найдем для данного разбиения для которых

Эти неравенства останутся верными, если заменить на

Заметим, что из интегрируемости не следует интегрируемость как это легко видеть на примере функции, равной 1 в рациональных точках в иррациональных.