§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру

Рассмотрим интеграл

где измеримое множество n-мерного пространства точек , а функция интегрируема по у на Тогда интеграл (1) есть функция от точки х.

Простейший случай (1), т.е. есть

Следующая теорема дает критерий непрерывности

Теорема 1. Если функция непрерывна на множестве

(n+m)-мерного пространства точек где замкнутые ограниченные множества в соответствующих пространствах точек х и у, то интеграл (1) (т. е. F(x)) есть непрерывная функция от . В случае

Доказательство. Обозначим через модуль непрерывности функции на множестве (2). Так как последнее замкнуто и ограничено, а функция непрерывна на нем, то Поэтому для

и теорема доказана.

Теперь рассмотрим интеграл, обобщающий (1) только в случае, когда у есть переменное число (не вектор):

и докажем теорему.

Теорема 2. Если функция непрерывна на множестве точек -мерного пространства., определяемых неравенствами где непрерывные функции на замкнутом ограниченном -мерном множестве точек то функция непрерывна на

Доказательство. Подстановка приводит интеграл (3) к виду

Но непрерывная функция на а интеграл в (4) тоже есть непрерывная функция от что следует из теоремы 1. Ведь подынтегральная функция есть непрерывная функция от . Следовательно, непрерывна на

Пример 1. Пусть на единичном шаре задана непрерывная функция Интеграл от нее по равен

Внутренний интеграл есть функция от

определенная на круге Она непрерывна на Действительно, непрерывна на замкнутом шаре поверхности, его ограничивающие, описываются непрерывными на круге функциями. Непрерывность на вытекает из доказанной теоремы. Таким образом,

Интеграл в свою очередь есть непрерывная функция от на основании этой же теоремы. Действительно, непрерывна на круге а (замкнутом ограниченном множестве точек а кривые ограничивающие непрерывны. По теореме непрерывна на