Глава 15. РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ

§ 15.1. Предварительные сведения

Система тригонометрических функций

ортогональна на отрезке т.е. интеграл на от произведения двух разных функций этой системы равен нулю. Это вытекает из равенств

Эта глава посвящена теории тригонометрических рядов и вопросам приближения функций тригонометрическими полиномами.

Функция называется периодической периода если она определена на всей действительной оси и для всякого х удовлетворяет условию

Если для такой функции существует интеграл (собственный или несобственный)

то, каково бы ни было действительное число а,

Это видно из рис. 15.1: одинаково затушеванные площади равны.

Рис. 15.1

Но это можно доказать формально. Существует единственное натуральное число к такое, что и, очевидно,

Складывая эти равенства, получим (2).

Очень часто в случае функций периода приходится употреблять равенство

где может быть любым значением. Действительно, воспользовавшись (2), имеем

Это равенство будет часто употребляться без пояснений.

Функции системы (1) являются периодическими периода При этом функции четные и функции нечетные.

Для четных функций

и для нечетных

Сумма вида

где постоянные числа, называется тригонометрическим полиномом порядка (или степени)

Тригонометрические полиномы мы будем считать простейшими периодическими функциями периода Ими мы будем приближать другие более или менее произвольные функции периода

Функцию периода можно заменить функцией периода с помощью подстановки приблизить эту вторую функцию некоторым тригонометрическим полиномом и затем вернуться к переменной х:

Условимся о некоторых обозначениях и терминологии. есть (§ 14.1) пространство (класс) непрерывных на отрезке функций с нормой

С есть пространство (класс) функций непрерывных на действительной оси и имеющих период с нормой

(а — произвольное действительное число).

Функцию можно считать принадлежащей рассматривая ее только на отрезке Однако при этом получается не всякая функция пространства а такая, что ее значения на концах периода равны между собой:

Наоборот, функция удовлетворяющая условию (3), после периодического продолжения с периодом превращается в функцию класса .

есть пространство (класс) функций периода которые, если их рассматривать на отрезке принадлежат с нормой (см. § 14.2)

Про функцию еще говорят, что она периодическая (периода абсолютно интегрируемая (на периоде) функция. Напомним, что для функции имеет место равенство

есть пространство (класс) функций периода которые, если их рассматривать на отрезке принадлежат с нормой (см. § 14.3)

Про функцию говорят еще, что она периодическая (периода функция с интегрируемым квадратом модуля (на периоде) или еще, в действительном случае, с интегрируемым квадратом. Напомним, что функция интегрируема по Риману на или если ее интеграл (4) имеет конечное число особых точек, то квадрат ее модуля интегрируем в несобственном смысле. Подчеркнем еще, что потому что если то

В теории рядов Фурье более естественно рассматривать классы (пространства) функций периода принадлежащих лебеговым пространствам и соответственно

Читатель уже заметил, что в наших обозначениях звездочка указывает на периодичность (с периодом функций, составляющих класс.

Функции указанных классов могут быть действительными и комплексными функциями от одной переменной поэтому, например, мы говорим "квадрат модуля" функции, а не просто "квадрат функции", что только в действительном случае одно и то же.

Система тригонометрических функций (1) ортогональна и, как мы узнаем в дальнейшем, полна в (и даже в С. Каждой функции

можно привести в соответствие ее ряд Фурье (см. § 14.6, (2)) по системе (1):

где

Отдельные функции входящие в правую часть (5) при условиях (6), (7), называются членами ряда Фурье функции (гармониками ).

Заметим, что коэффициенты Фурье (см. (6) и (7)) имеют на самом деле смысл не только для функций но и для функций (вообще Ведь функции ограничены, а функции абсолютно интегрируемы, но тогда и интегралы, определяющие коэффициенты Фурье абсолютно сходятся:

Поэтому, имея в виду большую общность, мы будем по возможности рассматривать разложение в ряды Фурье функций, принадлежащих

Итак, каждой функции (вообще ) соответствует ее ряд Фурье, независимо от того, сходится он в каких-либо точках х или нет. Существенно заметить, что если функцию видоизменить, прибавив к ней нулевую в функцию т. е. такую, что

например видоизменить в конечном числе точек, то это не изменяет коэффициенты Фурье , а следовательно, и сам ряд Фурье функции . Совокупность коэффициентов Фурье функции называется ее спектром. Многие колебательные процессы (колебания) в физике и технике описываются периодическими функциями, вообще периода и тогда и есть время,

а есть ордината колеблющейся точки, силы, скорости, силы тока, . Если есть тригонометрический полином, то

где определяются из уравнений

В физике говорят, что колебательный процесс распадается на простейшие колебательные процессы — гармонические колебания (гармоники)

Гармоника (8) имеет частоту к, амплитуду и начальную фазу . На рис. 15.2 изображены три периодические периода функции: (сплошной линией), (пунктиром) и (точками).

Рис. 15.2

Для больших график суммы

схематически (не точно) изображен на рис. 15.3, что наводит на мысль, и это будет в дальнейшем обосновано, что предельная функция

есть периодическая (периода функция, определяемая равенствами

Функция разрывна в точках и потому последовательность непрерывных функций не может равномерно сходиться к но она все же равномерно сходится на любом отрезке принадлежащем интервалу вообще любом отрезке оси принадлежащем интервалу, на котором непрерывна.

Рис. 15.3

На рис. 15.3 еще показано, что график возле точек разрыва предельной функции делает всплески. Это характерное явление для точек разрыва первого рода предельной кусочно гладкой функции называется явлением Гиббса (см. 4-е издание этой книги, § 15.9).