Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ

§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям

В § 1.6 были введены понятия первообразной функции и неопределенного интеграла. Мы рекомендуем читателю возобновить в памяти все, что говорилось там, перед тем как изучать эту главу. Цель этой главы — дать практические навыки вычисления неопределенных интегралов от некоторых элементарных функций.

В теории определенных интегралов будет доказана теорема, утверждающая, что непрерывная на интервале (или на отрезке функция имеет на нем первообразную которая, конечно, в свою очередь непрерывна. Так как неопределенным интегралом от на называется произвольная первообразная для функция и любые две первообразные для отличаются лишь на некоторую постоянную, то неопределенный интеграл от на равен где какая-либо первообразная для функция, соответствующим образом подобранная постоянная. Таким образом, на основании указанной выше теоремы можно сказать, что всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем неопределенный интеграл. Однако если есть элементарная функция (см. § 1.3), то оказывается, что далеко не всегда ее первообразная а следовательно, и неопределенный интеграл от нее, есть в свою очередь элементарная функция. Это может быть, а может и не быть, и в этом различие между дифференциальным и интегральным исчислением. В то время как производная от элементарной функции есть элементарная функция, обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Имеются такие элементарные функции, которые, как говорят, не интегрируются в элементарных функциях; их неопределенные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями.

Но все же к нашему счастью имеются классы интересных в математической практике элементарных функций, которые интегрируются в элементарных же функциях, т.е. их первообразные суть элементарные функции.

Эта глава посвящена изучению методов интегрирования функций подобных классов.

Начнем с того, что приведем таблицу неопределенных интегралов, вытекающую из основной таблицы производных от простейших

элементарных функций:

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определенная) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определенная первообразная, к которой еще прибавляется константа С такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

В § 1.6 была выведена формула

выражающая линейное свойство неопределенного интеграла.

Основную роль в интегральном исчислении играет также формула замены переменной (или подстановки):

В этой формуле предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения а непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси Первое равенство (2) утверждает, что левая его часть тождественно равна правой, если в ней (после

интегрирования!) сделать подстановку и подобрать соответствующую константу С. Докажем это утверждение. Слева в (2) стоит функция, которая является первообразной от Ее производная по равна

Следовательно, если ввести в этой функции подстановку то получится первообразная от функции Интеграл же справа есть по определению некоторая первообразная от Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную С. Это и записано в виде первого равенства (2). Что касается второго, то оно носит формальный характер — мы просто уславливаемся писать

Например,

Первое равенство написано в силу (1), второе — в силу (3), третье — в силу (2) (постоянная изменилась) и четвертое — в силу формулы из таблицы (постоянная изменилась). Однако в практике вычислений в членах, содержащих неопределенный интеграл, константы С не пишут, и тогда цепочка (4) упрощается:

к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства. Вот еще примеры:

Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей:

(кликните для просмотра скана)

Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что вычисление интегралов типа где константы, приводит к элементарным функциям (рациональным, и ). Перейдем к формуле интегрирования по частям:

или, что все равно,

В этой формуле и непрерывно дифференцируемые функции. Производная от ее левой части равна , а производная от правой части также равна поэтому они отличаются лишь на некоторую постоянную, что и записано в (9). Например,

откуда

Приведем еще пример, который будет нужен для теории интегрирования рациональных дробей.

Пусть натуральное число и тогда

откуда

Теперь к интегралу в правой части можно применить тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной дроби. В конце концов придем к интегралу от (приводящему к

Таким образом, при и натуральном к интеграл

берется в элементарных функциях. Примеры.

Замена переменной (подстановка):

Интегрирование по частям:

Комбинированные способы: