§ 3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел

Лемма 1. Пусть задана последовательность отрезков (множеств чисел для которых

вложенных друг в друга, т.е. таких, что с длинами, стремящимися к нулю:

Тогда существует и притом единственная точка (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам

Доказательство. Очевидно, что при любом заданном Это показывает, что числа не убывают и ограничены сверху числом при любом и согласно теореме 1 § 3.4 существует число , к которому стремится последовательность при этом Так как в этих неравенствах пит произвольны, то, в частности,

следовательно, каково бы ни было

Найденная точка с — единственная, удовлетворяющая сформулированному свойству. Ведь если допустить существование другой такой точки то выполнялись бы неравенства откуда для любого Но это противоречило бы тому, что

Лемма 2. У ограниченного сверху (снизу) числом (числом множества действительных чисел существует точная верхняя (нижняя) грань, не превышающая (не меньшая)

Доказательство. Пусть есть произвольное ограниченное сверху числом множество действительных чисел (точек), и пусть какая-либо точка

Зададим отрезок где который обозначим через . Заметим, что отрезок сто содержит точки такой точкой является точка . С другой стороны, правее сто нет точек Поэтому точную верхнюю грань надо искать в сто. Разделим сто на два равных отрезка и обозначим через правый из них, если он содержит в себе точки в противном случае обозначим через левый отрезок. Далее, через обозначим самую правую половину отрезка содержащую точки и т.д. Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков таких, что их длины стремятся к нулю и при любом отрезок содержит в себе точки но правее нет точек Согласно лемме 1 существует и притом единственная точка с, принадлежащая всем Очевидно, что с Докажем, что

Для этого покажем, что выполняются два условия:

1) для всех

2) для любого существует такое, что

Если бы утверждение 1) не было верно, то существовала бы точка такая, что Так как отрезки содержат в себе с и длины их стремятся к нулю, то найдется такое, что точка у будет правее Но этого не может быть, потому что по построению правее нет точек Этим доказано условие 1).

Зададим теперь Очевидно, найдется такое, что окажется правее точки При этом в имеется по крайней мере одна точка, которую обозначим через принадлежащая Для нее выполняются неравенства (1).

Если теперь есть ограниченное снизу числом множество точек то соответствующее множество точек ограничено сверху числом — и так как последнее имеет точную верхнюю грань, которая не превышает то существует

Лемма 3. Если множество всех действительных чисел разбито на два непересекающихся непустых множества:

так, что всякое меньше всякого то либо существует число с, наибольшее в А, и тогда в В нет наименьшего числа, либо существует число с, наименьшее в В, и тогда в А нет наибольшего числа.

Доказательство. Пусть множество всех действительных чисел разбито на два класса как это сказано в формулировке леммы. Пусть число, принадлежащее В. Тогда для всех а и в силу леммы 2 существует точная верхняя грань

Число с по условию принадлежит одному из классов А или В.

Если с то очевидно, что с есть наибольшее число в классе А. Допустим, что наряду с этим в В есть наименьшее число, которое обозначим через Тогда среднее арифметическое

и потому (ведь наименьшее число в классе В). С другой стороны, и вследствие не может принадлежать А, и мы пришли к противоречию.

Если теперь допустить, что то аналогичными рассуждениями легко устанавливается, что с есть наименьшее число в классе В, и тогда в А нет наибольшего числа. Этим лемма 3 доказана.

Замечание. В нашем распоряжении имеются четыре внешне отличных, но по существу весьма близких утверждения:

1) лемма 1 — о вложенных отрезках;

2) лемма 2 — о существовании точной верхней грани у ограниченного множества;

3) лемма 3 — о сечении во множестве действительных чисел;

4) теорема 1 из § 3.4 — о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

В нашем изложении утверждение 4) представляет собой одно из основных свойств действительных чисел — свойство . С помощью этого свойства (и свойств I-IV) мы доказали утверждения 1)-3).

На самом деле утверждения 1)-4) (при наличии I-IV) эквивалентны. Любое из них влечет за собой, как нетрудно проверить, верность остальных.

Докажите это, т.е. докажите, что из 3) следует 4).