§ 3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел
Лемма 1. Пусть задана последовательность отрезков (множеств чисел
для которых
вложенных друг в друга, т.е. таких, что
с длинами, стремящимися к нулю:
Тогда существует и притом единственная точка (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам
Доказательство. Очевидно, что
при любом заданном
Это показывает, что числа
не убывают и ограничены сверху числом
при любом
и согласно теореме 1 § 3.4 существует число
, к которому стремится последовательность
при этом
Так как в этих неравенствах пит произвольны, то, в частности,
следовательно,
каково бы ни было
Найденная точка с — единственная, удовлетворяющая сформулированному свойству. Ведь если допустить существование другой такой точки
то выполнялись бы неравенства
откуда
для любого
Но это противоречило бы тому, что
Лемма 2. У ограниченного сверху (снизу) числом
(числом
множества действительных чисел существует точная верхняя (нижняя) грань, не превышающая (не меньшая)
Доказательство. Пусть
есть произвольное ограниченное сверху числом
множество действительных чисел (точек), и пусть
какая-либо точка
Зададим отрезок
где
который обозначим через
. Заметим, что отрезок сто содержит точки
такой точкой является точка
. С другой стороны, правее сто нет точек
Поэтому точную верхнюю грань
надо искать в сто. Разделим сто на два равных отрезка и обозначим через
правый из них, если он содержит в себе точки
в противном случае обозначим через
левый отрезок. Далее, через
обозначим самую правую половину отрезка
содержащую точки
и т.д. Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков
таких, что их длины стремятся к нулю и при любом
отрезок
содержит в себе точки
но правее
нет точек
Согласно лемме 1 существует и притом единственная точка с, принадлежащая всем
Очевидно, что с
Докажем, что
Для этого покажем, что выполняются два условия:
1)
для всех
2) для любого
существует
такое, что
Если бы утверждение 1) не было верно, то существовала бы точка
такая, что
Так как отрезки
содержат в себе с и длины их стремятся к нулю, то найдется
такое, что точка у будет правее
Но этого не может быть, потому что по построению правее
нет точек
Этим доказано условие 1).
Зададим теперь
Очевидно, найдется
такое, что
окажется правее точки
При этом в
имеется по крайней мере одна точка, которую обозначим через
принадлежащая
Для нее выполняются неравенства (1).
Если теперь
есть ограниченное снизу числом
множество точек
то соответствующее множество точек
ограничено сверху числом —
и так как последнее имеет точную верхнюю грань, которая не превышает
то существует
Лемма 3. Если множество
всех действительных чисел разбито на два непересекающихся непустых множества:
так, что всякое
меньше всякого
то либо существует число с, наибольшее в А, и тогда в В нет наименьшего числа, либо существует число с, наименьшее в В, и тогда в А нет наибольшего числа.
Доказательство. Пусть множество
всех действительных чисел разбито на два класса
как это сказано в формулировке леммы. Пусть
число, принадлежащее В. Тогда
для всех а
и в силу леммы 2 существует точная верхняя грань
Число с по условию принадлежит одному из классов А или В.
Если с
то очевидно, что с есть наибольшее число в классе А. Допустим, что наряду с этим в В есть наименьшее число, которое обозначим через
Тогда среднее арифметическое
и потому
(ведь
наименьшее число в классе В). С другой стороны,
и вследствие
не может принадлежать А, и мы пришли к противоречию.
Если теперь допустить, что
то аналогичными рассуждениями легко устанавливается, что с есть наименьшее число в классе В, и тогда в А нет наибольшего числа. Этим лемма 3 доказана.
Замечание. В нашем распоряжении имеются четыре внешне отличных, но по существу весьма близких утверждения:
1) лемма 1 — о вложенных отрезках;
2) лемма 2 — о существовании точной верхней грани у ограниченного множества;
3) лемма 3 — о сечении во множестве действительных чисел;
4) теорема 1 из § 3.4 — о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.
В нашем изложении утверждение 4) представляет собой одно из основных свойств действительных чисел — свойство
. С помощью этого свойства (и свойств I-IV) мы доказали утверждения 1)-3).
На самом деле утверждения 1)-4) (при наличии I-IV) эквивалентны. Любое из них влечет за собой, как нетрудно проверить, верность остальных.
Докажите это, т.е. докажите, что из 3) следует 4).