§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений

Теорема 1. Пусть задана система уравнений

удовлетворяющая следующим свойствам.

Функции определены на некоторой (-мерной) окрестности точки пространства точек и непрерывны там вместе со своими частными производными (первого порядка) с якобианом (определителем Якоби

Кроме того, точка удовлетворяет системе (1).

Пусть есть множество всех точек (х,у), удовлетворяющих системе (1) (в частности,

Тогда, каково бы ни было найдется прямоугольник

такой, что множество описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

Другими словами, прямоугольник А обладает тем свойством, что на его проекции на координатное подпространство можно определить непрерывно дифференцируемые функции (4), удовлетворяющие уравнениям (1):

и неравенствам Эти функции единственны в том смысле, что любая точка имеет координаты, связанные уравнениями (4).

В частности, потому что Замечание 1. Нетрудно видеть, что в формулировке теоремы неравенства можно заменить на неравенства

потому что если теорема верна при выполнении первого неравенства, то она верна и при выполнении второго при . В ее формулировке также можно было бы написать и тогда она будет верной при где пищ а.

Заметим, однако, что невозможно добиться того, чтобы в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения:

Доказательство. При теорема уже доказана (см. § 7.15, теорема 1). Ведь для любого можно подобрать чтобы Пусть она верна при докажем ее верность при

Так как якобиан (2) не равен нулю в точке один из его миноров порядка тоже не равен нулю в этой точке, а вследствие его непрерывности — и в некоторой достаточно малой окрестности этой точки, которую мы будем считать совпадающей с уменьшив в случае необходимости прежнюю окрестность Не нарушая общности, будем считать, что это есть минор

Но по предположению теорема верна для поэтому, учитывая (7), ее можно применить к первым уравнениям (1) и заключить, что существует в принадлежащий прямоугольник

такой, что множество точек из удовлетворяющих первым уравнениям (1), описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

Таким образом, в частности,

Замечание 2. Мы могли бы на этом первом этапе рассуждений взять но на втором этапе, возможно, придется числа непропорционально уменьшать. В силу замечания 1 это уменьшение не нарушит уже доказанное.

Итак, множество точек удовлетворяющих первым уравнениям (1), описывается равенствами (8). Ниже мы доказываем, что среди этих точек есть точки, удовлетворяющие уравнению системы (1). Для них выполняется равенство

Здесь введено для краткости обозначение функции Обратно, если какая-либо точка (х,у) удовлетворяет (8) и (10), то она принадлежит А и удовлетворяет всем уравнениям системы (1).

Итак, верно утверждение:

А. Множество точек , удовлетворяющих системе (1), описывается уравнениями (8), (10). Очевидно, выполняются тождества

Замечание 3. Равенства (11) суть тождества, верные для любых , а равенство (10) есть уравнение, которое предстоит еще решить относительно среди точек Ниже будет установлено, что это уравнение имеет решения. Они будут описаны, и тем самым будут описаны все решения системы (1).

Введенная функция удовлетворяет следующим свойствам:

1) она определена на прямоугольнике и имеет там непрерывные частные производные, потому что этим свойством обладают функции (8), которые к тому же не выходят за пределы прямоугольника А точек и непрерывно дифференцируема;

3) частная производная

Свойство 3) вытекает из следующих рассуждений.

Дифференцируя (на ) функции (11) и (10) по получим

Поэтому, если прибавить к столбцу определителя (2) его столбцы, умноженные на получим

откуда, учитывая (7), .

Наша теорема при есть теорема § 7.15. Применим ее к функции заданной на области

Условиями теоремы 1 являются уже проверенные нами условия 1)-3). В силу этой теоремы число а можно уменьшить и снова обозначить через а так, что для полученного уменьшенного прямоугольника (мы его снова обозначаем через будет выполняться следующее утверждение.

B. Существует на непрерывно дифференцируемая функция

описывающая все решения уравнения (10).

Важно отметить, что, уменьшая число а, чтобы получить утверждение В, мы оставляем верным утверждение А (см. замечание 2).

Теперь утверждение А можно сформулировать следующим образом. А. Множество точек удовлетворяющих системе (1), описывается уравнениями

Или если положить

то получим следующее утверждение.

C. Множество точек (х,у) из А, удовлетворяющих системе (1), описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

Отметим, что утверждение С сохраняется, если найденное а уменьшить.

Зададим положим и, пользуясь непрерывностью функций определим число а (годное и для утверждения С) такое, что

Числа определяют в пространстве точек прямоугольник

Таким образом, имеют одну и ту же проекцию на подпространство х.

Покажем наконец, что

откуда окончательно будет следовать утверждение теоремы:

В самом деле, так как то . С другой стороны, если то и на основании (15), т. е. Теорема доказана.

Теорема 2. Если к условиям теоремы 1 добавить, что функции непрерывно дифференцируемы I раз на то функции решающие системы, непрерывно дифференцируемы I раз на

Теорема доказывается аналогично теореме 2 § 7.15.