§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность

В трехмерном пространстве с прямоугольной системой координат дана область и на ней определено поле непрерывного вектора

В Н задана ориентированная гладкая поверхность :

где измеримая область в плоскости параметров непрерывно дифференцируемые на функции.

Ьудем считать, что единичная нормаль ко определяется векторным равенством (см. сказанное в связи с § 13.7, (1), (3))

Тогда косинусы углов с осями x, y, z выражаются равенствами

Будем еще обозначать через ту же поверхность, но не ориентированную — с нее снята ориентация.

Потоком вектора а через ориентированную поверхность называется интеграл (первого рода) по

от скалярного произведения

вектора поля и единичной нормали определяющей ориентацию

Так как есть непрерывная функция от точки то интеграл (3) первого рода по имеет смысл.

Например, пусть в поле имеет место стационарное течение жидкости, так что скорость ее а в какой-либо точке зависит от А, но не зависит от времени. Поток ее скорости через ориентированную поверхность есть количество ее, проходящее в единицу времени через в направлении, в котором ориентирована Справедливо равенство

где в правой части стоит обычный кратный интеграл по в котором в надо поставить вместо x, y, z соответственно функции от

Часто удобно вычислять интеграл (4) в декартовых координатах. Покажем, к каким вычислениям это приводит в предположении, что

гладкий кусок поверхности взаимно однозначно проектируется на измеримые части всех трех плоскостей координат. Многие гладкие поверхности можно разбить на конечное число таких кусков.

Итак, пусть гладкий кусок описывается любой из трех функций:

непрерывных соответственно на проекциях на плоскости и имеющих непрерывные частные производные, вообще говоря, только на открытых измеримых ядрах этих проекций (т. е. на проекциях без их границ).

Рис. 13.19

Обозначим еще через соответствующие ориентированные проекции ориентированной поверхности на плоскости Обход контура определяет при проектировании соответствующий обход площадок (рис. 13.19). Нормаль образует угол с осью z, косинус которого равен

где надо взять или в зависимости от ориентации . Имеем

где предпоследний интеграл взят по ориентированной площадке (см. § 13.8). Что касается последнего интеграла в этой цепи, то его надо рассматривать как обозначение предпоследнего. Это так называемый интеграл второго рода. Чтобы его вычислить, надо подставить вместо и проинтегрировать по ориентированной проекции . Из § 13.8 мы знаем, что

где надо взять + или — в зависимости от того, будет ли площадка ориентирована положительно или отрицательно. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в отношении остальных двух интегралов (рис. 13.19):

Мы доказали, что поток вектора а через ориентированную поверхность определяемую нормалью может быть вычислен по формуле

Если поверхность может быть разрезана на конечное число частей, каждая из которых проектируется на все три координатные плоскости, то, чтобы вычислить поток через , можно вычислить потоки через каждый из кусков S указанным способом и сложить их.

Правая часть (6) называется интегралом по поверхности второго рода. Знак ее меняется на противоположный при изменении ориентации . Левую часть (6) тоже называют интегралом по поверхности второго рода (ориентированной вектором Впрочем, при заданном левая часть (6) есть интеграл первого рода.

Шаровая поверхность с центром в нулевой точке естественно разрезается плоскостями координат на кусков, обладающих указанным свойством. Тор, рассмотренный в примере 3 § 7.20, разрезается на шестнадцать таких кусков плоскостями координат и еще цилиндрической круговой поверхностью радиуса с осью, идущей по оси у.