§ 12.5. Другие случаи измеримости

Теорема 1. Поверхность , где — непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция, имеет трехмерную меру нуль:

Доказательство. Помещаем в квадрат и делим последний на равные квадратики диаметра

Пусть такой квадратик, содержащий точки и пусть

Очевидно, часть нашей поверхности, расположенную над можно поместить в прямоугольник имеющий объем где — модуль непрерывности на

Множественная сумма всех определенных нами кубиков образует фигуру покрывающую Объем а оценивается так:

для достаточно малого потому что функция равномерно непрерывна на

Теорема 2. Поверхность (m-мерная) в пространстве определенная параметрически уравнениями

где функции непрерывно дифференцируемы на прямоугольнике

{точек t), имеет n-мерную меру нуль: . Доказательство. Положим

Разделим А на равные частичные прямоугольники в количестве Пусть

— один из них. Его точкам при помощи (1) соответствуют точки кусочка По теореме о среднем для таких

где есть некоторое (среднее) значение Поэтому

и кусочек можно поместить в n-мерный кубик имеющий меру -мерную), равную

Фигура состоящая из этих (перекрывающихся) кубиков, имеет n-мерную меру

при достаточно большом Надо учесть, что сумма состоящая из слагаемых, равна

Пример 1. Эллипсоид

разрезается на две части: верхнюю и нижнюю, определяемые непрерывными функциями

заданными на замкнутом ограниченном множестве в .

На основании теоремы 1 трехмерная мера следовательно, и равна нулю. Поэтому объемный эллипсоид есть измеримое в трехмерном смысле множество.