§ 5.9. Формула Тейлора

При помощи формулы Тейлора можно по данным значениям функции и ее производных в точке а и некоторым сведениям о производной в окрестности этой точки узнать приближенно, часто с большой точностью, значение в точках этой окрестности.

Средством приближения являются специально строящиеся по указанным значениям многочлены, называемые многочленами Тейлора данной функции.

Мы начнем с того, что выведем формулу Тейлора для многочлена

Зададим произвольное число правой части равенства (1) произведем замену х на

Затем раскроем квадратные скобки и приведем подобные при одинаковых степенях . В результате получим равенство

где постоянные, зависящие от исходных коэффициентов

Равенство (2) называется зло жение многочлена по степеням , а числа называются коэффициентами данного разложения.

С этой точки зрения исходное равенство (1) можно трактовать как разложение по степеням т. е. по степеням , где Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

В последнем равенстве, определяющем производную, положим . Тогда в правой части все члены, начиная со второго, обратятся в нуль, и мы получим При этом, как обычно, мы считаем, что Итак, коэффициенты разложения (2) многочлена по степеням необходимо выражаются по формуле

Отсюда, в частности, следует, что один и тот же многочлен степени можно разложить по степеням единственным образом, т. е. если для всех значений

где постоянные, то

Ведь как числа так и вычисляются по одной и той же формуле (3). Итак,

Формула (4) называется формулой Тейлора по степеням а для многочлена степени

Формулу Тейлора по степеням выражение

называют также формулой Маклорена.

Пример 1 (бином Ньютона). Рассмотрим многочлен степени

где — произвольное число, натуральное число. Его производная равна

откуда следовательно, на основании формулы Маклорена для многочлена степени будем иметь

Это равенство называется формулой бинома Ньютона. Если ввести обычное обозначение

то формула бинома Ньютона может быть записана в более компактной форме:

Числа называются биномиальными коэффициентами. Отметим, что если числитель и знаменатель дроби в (7) помножить на то получим

Случай тоже включается в эту формулу. Ведь Другое важное свойство биномиальных коэффициентов выражается равенством

Доказательство его предоставляем читателю. Если учесть, что то с помощью последнего равенства можно легко получить последовательно числа для любых всякий раз пользуясь только одним действием сложения.

Выше мы вывели формулу Тейлора для многочлена. Пусть теперь в окрестности точки а задана функция не являющаяся многочленом степени но имеющая там производные до порядка включительно.

Вычислим числа и составим при их помощи функцию

Очевидно, есть многочлен степени Он называется многочленом Тейлора, именно многочленом Тейлора, функции по степеням а. Положим

где есть многочлен Тейлора функции по степеням .

Равенство (9) называется формулой Тейлора функции в окрестности точки называется остаточным членом или остатком рассматриваемой формулы Тейлора.

Замечательно, что для остаточного члена можно дать нетривиальные выражения через производную от Ниже мы выведем два таких выражения: остаточный член в форме Лагранжа и остаточный член в форме Коши.

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа выглядит следующим образом:

где есть некоторая (зависящая от ) точка интервала Здесь и далее х можно считать не только большим, но и меньшим, чем . Обычно точное значение неизвестно, утверждается лишь, что находится где-то на интервале

Бывает удобно число записать в виде , где в есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам При таком обозначении остаточный член в форме Лагранжа имеет следующий вид:

Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши выглядит так:

где — число, зависящее от

Отметим, что при формула Тейлора функции с остаточным членом в форме Лагранжа (или Коши) есть уже известная нам формула Лагранжа о среднем значении:

Соответствующая теорема гласит:

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке вместе со своими производными до порядка включительно и имеет производную порядка на интервале

Тогда ее остаточный член формулы Тейлора может быть записан в форме Лагранжа или в форме Коши.

Доказательство. Зададим произвольное натуральное число и указанное в теореме значение Предупредим, что на протяжении доказательства будет оставаться неизменным. Нам будет удобно ввести новую вспомогательную переменную . По отношению к ней будет рассматриваться как постоянная.

Мы ставим своей задачей найти удобное выражение для остатка Для этого представим в виде произведения: сведя таким образом вопрос к отысканию величины Величина зависит от и в силу сделанного соглашения будет рассматриваться как постоянная.

Итак, мы имеем равенство

Заменим чисто формально в правой его части постоянную а на переменную . Тогда получим функцию

которая во всяком случае определена и непрерывна для всех значений и, принадлежащих отрезку потому что на этом отрезке непрерывна

исходная функция вместе со своими производными до включительно. Кроме того, из определения функции следует, что при она принимает значение . Больше того, при она также обращается в что непосредственно видно из правой части (10): если положить в ней все члены обращаются в нуль, кроме первого, равного Наконец, наша функция имеет на интервале производную, потому что на нем имеет производную порядка исходная функция

Мы видим, что наша вспомогательная функция удовлетворяет условиям теоремы она непрерывна на отрезке имеет производную на интервале и принимает равные значения на его концах. Но тогда согласно теореме Ролля существует между промежуточная точка такая, что производная в ней равна нулю.

Найдем фактически эту производную:

В этом выражении все члены сокращаются, за исключением последних двух. Если в оставшееся выражение подставить указанное значение , то, как было сказано, оно обратится в нуль.

Решая полученное уравнение относительно и умножая найденное на получим искомое выражение для остаточного члена:

Это выражение зависит от где может быть любым натуральным числом. Если в нем положить то получим остаточный член в форме Лагранжа, а если положить то в форме Коши.

Отметим, что при формулу Тейлора называют также формулой Маклорена. В этом случае она имеет вид

Предположим теперь, что функция имеет в точке а непрерывную производную порядка Отсюда следует, что существует некоторая окрестность точки а, на которой функция имеет производную

и тем более непрерывную производную К Таким образом, условия для разложения по формуле (11) с остатком в форме Лагранжа соблюдены, и можно написать, учитывая предположенную непрерывность при что

Следовательно,

Разложение (13) называют формулой Тейлора разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано. Мы доказали следующую теорему.

Теорема 2. Если функция имеет непрерывную производную порядка в точке а, то она разлагается по формуле (13) Тейлора по степеням с остаточным членом в форме Пеано. Докажем лемму. Лемма. Из равенства

где числа, не зависящие от следует, что

Действительно, возьмем предел левой и правой частей (14) при Тогда получим равенство Таким образом, можно считать, что в (14) слагаемых нет, и можно (14) сократить на а и получить равенство

откуда после перехода к пределу при х а получим еще, что Продолжая этот процесс последовательно, мы получим (15). Лемма доказана.

Из доказанной леммы и сказанного выше следует единственность разложения функции по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано. Эти слова надо понимать в следующем смысле. Если функция имеющая в точке а непрерывную производную порядка, представлена в виде

где постоянные числа, то эти числа равны

т. е. (16) есть тейлорово разложение с остатком в форме Пеано.

Формула Тейлора в окрестности четной (нечетной) функции содержит в себе члены только четной (нечетной) степени

Это следует из того, что нечетные производные от четной функции, так же как четные производные от нечетных функций, суть нечетные функции (см. конец § 5.6). Но последние к тому же предполагаются непрерывными в точке но тогда они необходимо равны нулю в этой точке.

В частности, с помощью этого утверждения легко следует, что для того, чтобы многочлен

был четным (нечетным), т. е. четной (нечетной) функцией, необходимо и достаточно, чтобы все его члены имели х в четной (нечетной) степени.

Пример 2. Изравенства и того факта, что следует, что

Но тогда (17) есть формула Тейлора функции по степеням х с остаточным членом в форме Пеано.