Глава 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 3.1. Понятие предела последовательности

Метод пределов есть основной метод, на котором базируется математический анализ.

Пусть каждому натуральному числу приведено в соответствие в силу некоторого закона число Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел или, короче, последовательность

Отдельные снабженные номерами (индексами) числа называют элементами последовательности Они могут быть действительными или комплексными. Мы здесь рассматриваем случай, когда они действительны.

Для разных отдельные элементы последовательности могут оказаться равными как числа Однако рассматриваются как разные элементы последовательности.

Ниже приводятся примеры последовательностей:

В случае 7) не видно, как написать общую формулу для произвольного элемента однако закон образования чисел ясен:

Мы еще будем употреблять следующую терминологию: переменная пробегает последовательность или последовательность значений

Переменную все значения которой равны одному и тому же числу , называют постоянной и обычно обозначают просто через .

По определению число называется пределом последовательности если для любого положительного числа найдется (зависящее от него) натуральное число такое, что для всех натуральных выполняется неравенство

При этом мы будем писать

или

и говорить, что переменная стремится к , или что последовательность стремится (сходится) к числу а.

Покажем, что переменная 2) имеет предел, равный нулю. В самом деле, зададим и составим неравенство

Оно верно для всех или для всех где есть какое-либо натуральное число, большее Таким образом, для любого найдется такое натуральное что для всех

В точности так же доказывается, что и последовательность 3) имеет предел 0. Переменная 4) стремится к 1, потому что в этом случае

для всех где натуральное число, большее

Нетрудно показать, что и переменная 5) стремится к 1. Переменная 7), очевидно, стремится к нулю. Не имеет значения тот факт, что она сначала имеет тенденцию возрастать: в этом вопросе важно, какие значения она имеет для достаточно больших

Если удовлетворяет неравенству то это то же, что удовлетворяет неравенствам

или, употребляя геометрический язык, что точка (число) принадлежит интервалу Поэтому, употребляя геометрический язык, можно дать такое определение предела: переменная имеет пределом число (точку) а, если для любого найдется такое натуральное что для всех точки

Произвольный интервал содержащий в себе точку а, т.е. такой, что называется окрестностью точки а. Очевидно, какова бы ни была окрестность точки а, найдется такое что интервал содержится в

Поэтому тот факт, что можно выразить еще и так: какова бы ни была окрестность точки а, все точки начиная с некоторого номера должны попадать в эту окрестность, т.е. должно существовать натуральное такое, что Что касается точек с индексами то они могут принадлежать или не принадлежать Таким образом, если вне имеются точки то их конечное число.

С другой стороны, если известно, что вне имеется только конечное число точек то, положив

мы можем сказать, что для всех точки Поэтому можно дать еще такое определение предела: переменная имеет своим пределом а, если вне любой окрестности точки а имеется конечное или пустое множество точек

Переменная 6) ни к какому пределу не стремится, потому что если предположить, что эта переменная имеет предел, равный а, то любая как угодно малая по длине окрестность точки а должна была бы содержать все элементы за исключением конечного числа их. Но вне интервала длины 1/2, как бы он ни был расположен на действительной оси, имеется, очевидно, бесконечное число элементов нашей последовательности.

Нетрудно видеть, что и последовательность 1) не стремится ни к какому пределу. Впрочем, в дальнейшем мы будем говорить, что она стремится к бесконечности, вкладывая в это понятие несколько иной смысл.

Легко видеть, что если переменная имеет предел, то он единственный. Ведь если бы она имела два предела, а и где интервалы где должны были бы содержать каждый все точки последовательности за исключением конечного их числа. Но это, очевидно, невозможно, потому что эти интервалы не имеют общих точек (не пересекаются).

Пример 6) показывает, что для разных отдельные значения последовательности могут быть равными: Однако рассматриваются как разные элементы последовательности.

Легко видеть, то если две последовательности имеют только конечное число различных соответствующих элементов (имеющих одинаковый индекс то они одновременно либо не имеют пределов, либо имеют пределы, и притом равные.

Докажем несколько теорем, выражающих свойства переменных, стремящихся к пределам.

Теорема 1. Если переменная имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть Тогда для должно найтись натуральное число такое, что

Отсюда или для . Положим . Тогда очевидно, что

т.е. переменная ограничена.

Теорема 2. Если переменная имеет не равный нулю предел , то найдется такое что

Больше того, для указанных если то если то Таким образом, начиная с некоторого номера, сохраняет знак .

Доказательство. Пусть Тогда для должно найтись натуральное такое, что

откуда и первое утверждение теоремы доказано. С другой стороны, неравенство эквивалентно следующим двум:

Тогда если то

а если то

и этим доказано второе утверждение теоремы.

Теорема 3. Если для всех то

Доказательство. Допустим, что Зададим и подберем натуральные так, чтобы

что возможно, потому что

Если то, очевидно, и мы пришли к противоречию с тем, что по условию для всех

Если бы в условии теоремы 3 было бы то все равно можно лишь утверждать, что (пример: ).

Теорема 4. Если переменные стремятся к одному и тому же пределу то переменная также стремится к .

Доказательство. Задав можно найти и А такие, что

откуда для

что и требовалось доказать.

Теорема 5. Если то Доказательство теоремы следует из неравенства

Упражнение.

Под чертой записано определение Вместе с чертой эта запись отрицает это определение, т.е. говорит, что Справа это отрицание выражается в положительной форме: существует такое, что для любого найдется для которого