§ 9.3. Суммы Дарбу

Пусть на задана ограниченная функция (вообще, разрывная), и пусть произвольное разбиение Положим По определению числа

называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами Дарбу соответствующими разбиению Это вполне определенные числа, зависящие от

Очевидно, что

Пусть разбиения Если все точки принадлежат то будем писать и говорить, что есть продолжение Если множество точек, из которых состоит есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых состоят то будем писать

Если

В самом деле, если получается из добавлением только одной точки с в частичном отрезке то слагаемое заменится на сумму где

Но поэтому

и, следовательно, Аналогично получим Эти неравенства только усугубляются при дальнейшем добавлении к точек с.

Каковы бы ни были разбиения имеет место потому что

Зафиксируем и пусть произвольно; тогда

Число называется верхним интегралом функции на Мы доказали его существование и тот факт, что для любого (теперь мы заменяем на имеет место

Но тогда существует точная верхняя грань

называемая нижним интегралом функции на Итак, доказаны существование нижнего и верхнего интегралов на и неравенство

Лемма 1. Если множества чисел, то

Доказательство предоставляем читателю.