§ 3.5. Число е

Рассмотрим переменную

Имеем

Члены меньше соответствующих членов кроме того, имеет на один (последний) положительный член больше, чем Поэтому Далее,

Таким образом, переменная монотонно возрастает и ограничена сверху числом 3. По теореме 1 она имеет предел, который не превышает 3. Этот предел — вполне определенное число, которое называют числом Таким образом,

Число имеет большое значение в математическом анализе. Мы убедимся в этом скоро. В известном смысле оно является естественным основанием для логарифмов. Число называется еще неперовым числом

по имени шотландского математика Непера (1550-1617). Это — иррациональное число. Ниже приводится его значение с первыми шестью точными десятичными знаками:

В § 5.10 показано, как вычислить число с наперед заданной точностью.

В дальнейшем, когда будет введено понятие предела функции, мы увидим, что указанный предел существует и равен когда стремится к бесконечности любого знака, изменяясь непрерывно.