§ 15.10. Теорема Вейерштрасса

Теорема 1 (Вейерштрасса). Система функций

полна в пространстве непрерывных функций. Иначе говоря, любой непрерывной на функции и любого найдется алгебраический многочлен такой, что

Доказательство сначала проведем для отрезка Пусть на задана непрерывная функция Тогда есть непрерывная на отрезке функция, и так как система функций

полна в (см. теорему 3 § 15.5), то для любого найдется четный тригонометрический полином такой, что

Но можно записать в виде где есть алгебраический многочлен степени Таким образом,

Но тогда

Теорема для отрезка [-1, +1] доказана.

Если теперь задана непрерывная функция на отрезке то сделаем подстановку

линейно и взаимно однозначно отображающую отрезок изменения на отрезок изменения х. Тогда функция непрерывна на и по доказанному выше для нее найдется многочлен такой, что

Обратная подстановка приводит к неравенству

где есть, очевидно, в свою очередь, многочлен. Теорема доказана.

Заметим, что степень многочлена для которого по данному выполняется неравенство (2), зависит от При вообще говоря,