§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл

где

— рациональная функция от многочлены от

1. Если один из многочленов четный по а другой — нечетный по то можно представить, умножив, если это необходимо, числитель и знаменатель (1) на в виде многочлены от Поэтому подстановка приводит интеграл (1) к виду

где рациональная функция от

2. Если один из многочленов четный по , а другой — нечетный по , то подстановка рационализирует наш интеграл. Это доказывается, как выше.

3. Если оба не изменяются при замене соответственно на или 2) оба меняют знак, — то интеграл (1) рационализируется подстановкой

(или ).

4. Для любой рациональной функции подстановка рационализирует интеграл (1). В самом деле, тогда

5. Функция

где постоянные коэффициенты, называется тригонометрическим полиномом порядка (или степени) Интегрирование ее не представляет никакого труда:

Часто встречаются выражения

где целые неотрицательные числа. Это есть тригонометрические полиномы порядка т.е. их можно преобразовать к виду (5), где и постоянные числа. Этот факт можно доказать, применяя метод индукции.

В самом деле (пояснения ниже)

Надо учесть, что действительная функция, и потому последний член в этой цепи равенств получается из предпоследнего выделением его действительной части. Мнимая часть автоматически равна нулю. После замены в на получим, в зависимости от того, будет ли четным или нечетным,

Тот факт, что выражения (7) суть тригонометрические полиномы указанной четности, следует из (8)-(10) и равенств

(кликните для просмотра скана)

(дальше воспользоваться формулами (11)).