§ 7.4. Частные производные и производная по направлению

В этом параграфе мы будем рассматривать функции определенные на произвольном открытом множестве

Назовем приращением в точке по переменной с шагом величину

где действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл.

Частной производной по в точке х называется предел

если он существует. Частная производная есть обычная производная функции рассматриваемой как функция только от переменной при фиксированных

Функция от двух переменных изображается в техмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат поверхностью геометрическим местом точек где Очевидно, что величина (если она существует) равна тангенсу угла наклона к прямой, параллельной оси касательной к сечению этой поверхности плоскостью в точке, имеющей абсциссу

Производные называют также частными производными первого порядка от

Выражения называют частными производными второго порядка. При их принято обозначать так:

Выражения называют частными производными третьего порядка, и т. д. Широко пользуются обозначениями такими, как приведенные ниже:

Мы увидим в дальнейшем, что во многих важных случаях эти операции частного дифференцирования законно менять местами без изменения результата.

Можно еще ввести понятие производной по направлению. В случае функций от одной переменной оно не употребляется.

Пусть есть произвольный единичный вектор. Производной функции в точке х по направлению : называется предел

(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела предполагается, что стремится к нулю, принимая положительные значения, поэтому можно еще сказать, что есть правая производная в точке функции по

Можно, как в случае функций от одной переменной, говорить о правой и левой частной производной по Надо учесть, что производная по направлению положительной оси совпадает с правой частной производной по однако производная по направлению отрицательной оси имеет знак, противоположный знаку левой производной по х