§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент

Ограничимся рассмотрением функции трех переменных, определенной на открытом множестве Распространение излагаемых здесь фактов на n-мерный случай производится аналогично. Теорема 1. Пусть функция

дифференцируема в точке а функции

зависящие от скалярного параметра имеют производную в Тогда производная по сложной функции (производная функции вдоль

кривой вычисляется по формуле

или, короче,

В самом деле, вследствие дифференцируемости в , каково бы ни было достаточно малое приращение

Значению которому при помощи равенств (2) соответствует точка придадим приращение Оно вызовет приращения функций (2). Если именно их подставить в (4), то получим приращение функции в точке После деления (4) на и перехода к пределу получим

т.е. (3), потому что функции (2) имеют производные, а

( влечет ).

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке то для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора выражаемая формулой

Доказательство. Согласно определению производной по направлению (см. § 7.4) и в силу предыдущей теоремы

где частные производные взяты в

Если — уравнение гладкой кривой где параметр длина дуги, то величины

суть направляющие косинусы вектора касательной к Поэтому величина

где дифференцируемая функция, есть производная по направлению указанного касательного вектора. Еоворятеще, что есть производная функции вдоль Введем вектор

называемый градиентом функции в точке

Плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная к градиенту в этой точке, если он не равен нулю, имеет уравнение

Эта плоскость замечательна тем, что ее можно (в силу (5)) рассматривать как геометрическое место выходящих из лучей, вдоль которых производная от равна нулю. В § 7.19 будет доказано, что эта плоскость есть касательная плоскость в к поверхности, определяемой уравнением

Из формулы (5) понятно, что производная в точке по направлению единичного вектора равна проекции градиента в этой точке на направление

Имеет место очевидное неравенство

для любого вектора Если что обычно бывает только в исключительных точках, для любого вектора Если же (одна из частных производных функции не равна нулю), то (10) есть строгое неравенство для всех единичных векторов за исключением единственного вектора направленного в сторону Таким образом,

Из сказанного следует, что градиент функции в точке можно определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами:

1) длина его равна максимальной величине производной по направлению в (для дифференцируемой в функции этот максимум существует и есть число неотрицательное);

2) если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор вдоль которого производная максимальна.

Это новое определение градиента полностью эквивалентно его формальному определению при помощи формулы (6). Оно показывает, что есть инвариант, т.е. он может быть определен независимо от системы координат, в которой рассматривается функция от точки (см. (1)).

Чтобы пояснить эти слова, рассмотрим физический пример. Будем считать, что есть физическое тело, а есть температура переменной его точки вообще меняющаяся от точки к точке. Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат то физическая функция может быть заменена на математическую где прямоугольные координаты точек . В другой прямоугольной системе наша физическая функция будет описываться, вообще говоря, другой математической функцией

где

— формулы преобразования координат.

Градиент нашей физической функции естественно определить в духе второго приведенного выше определения. Это есть вектор, по направлению которого температура в данной точке возрастает быстрее всего, длина же его равна максимальной скорости возрастания температуры среди скоростей, соответствующих разным направлениям.

Мы знаем, что если функция описывающая нашу физическую функцию, в системе дифференцируема в точке для нее имеет смысл градиент в этой точке, определяемый тройкой чисел

Во второй системе координат он задается другой тройкой:

Таким образом, мы из чисто физических соображений доказали, что если некоторый вектор в прямоугольной системе координат задан тройкой чисел (14), то при условии дифференцируемости он в новой системе задается тройкой (15), где определяется формулами (12), (13). Этот факт можно доказать и формально (см. 4-е издание книги автора "Курс математического анализа", § 7.6), рассматривая как символическое произведение вектора V на скаляр

Пример 1. Пусть есть функция от расстояния между фиксированной точкой и переменной точкой

есть вектор, имеющий направление вектора и длину Поэтому

В частности, если то

Пример 2. Функции

суть инварианты относительно преобразований прямоугольных систем координат, потому что — вектор (инвариант), левая часть (16) есть квадрат его длины (скалярное произведение вектора на самого себя), есть символический инвариант (скалярное произведение символического вектора V на самого себя), умноженный на скаляр и.