§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле

Теорема 1. Пусть в n-мерном пространстве точек задана измеримая область и рассматривается еще другое n-мерное пространство точек а в нем измеримая область

Предположим, что точки переходят в точки при помощи отображения (операции)

которое мы будем еще обозначать так:

Мы будем предполагать, что операция А обладает следующими свойствами:

1) она взаимно однозначно отображает на

(взаимно однозначное соответствие при отображении А между точками границ не требуется);

2) функции непрерывны и имеют на непрерывные частные производные с якобианом

Пусть, далее, задана интегрируемая на функция

преобразующаяся при помощи подстановок (1) в функцию

Тогда имеет место формула замены переменных в кратном интеграле:

Если существует один из интегралов (5), то существует второй и они равны.

В частности, если функция непрерывна то непрерывна также функция на и оба интеграла в (5) существуют, а формула (5) утверждает их равенство.

Замечание. В формуле (5) можно заменить соответственно на потому что этим добавляются множества n-мерной меры нуль.

Трудность теоремы заключается в лемме, которая будет доказана в § 12.15. Мы ее сформулируем и сразу же покажем, как с ее помощью доказывается равенство (5).

Лемма 1. Пусть выполняются условия теоремы и а с есть произвольный куб с ребром его образ на при помощи операции А. Тогда имеет место равенство

где значение якобиана в одной из точек а

(модуль непрерывности на и константа С, входящая в О, не зависит от и положения А на

Важно заметить, что так как частные производные по условию теоремы непрерывны на ограниченном замкнутом множестве то их модули непрерывности но тогда и

Поэтому остаточный член в формуле (6) удовлетворяет неравенству

и притом равномерно относительно потому что правая часть (9) не зависит от Что касается первого члена правой части (6), то он равен

Из этого равенства, в частности, следует, что для любого имеет место равенство

показывающее, что величина с точностью до бесконечно малых есть коэффициент увеличения элементарного объема, сконцентрированного возле точки х при преобразовании его посредством операции А.

Разобьем -сеткой, состоящей из кубиков с ребрами длины (рис. 12.12). Часть сетки, содержащаяся в при помощи операции А переходит в криволинейную сетку поверхностей, разбивающую измеримые части (см. рис. 12.13).

Рис. 12.12

Рис. 12.13

Например, плоскость пересекает по замкнутому огра ниченному множеству которое операция А переводит на поверхность (разбиения непрерывно дифференцируемую -мерную. Ее n-мерная мера равна нулю (см. § 12.5, теорема 2).

Обозначим через А полные кубы сетки, входящие вместе со своими границами в При помощи операции А открытое ядро А переходит на открытое ядро А, а граница А — на границу А (формальнс это утверждение требует доказательства; см. 4-е издание этой книги § 12.20).

При этом если то максимальный диаметр частичных множеств соответствующего разбиения стремится к нулю, потом) что в преобразовании (1) функции равномерно непрерывны на

Учитывая лемму 1, выпишем равенство

где суммы распространены на все целые кубы произвольные точки, Надо иметь в виду, что когда х пробегает А, то х соответственно пробегает все множество А.

Так как входящая в константа одна и та же для всех то

при достаточно малом

Поэтому при имеет место равносходимость:

Если интеграл справа в (5) существует, то сумма справа в (12) стремится к числу, равному ему, при и любом выборе точек . И так как эти точки взаимно однозначно соответствуют точкам и при максимальный диаметр А стремится к нулю, то сумма в левой части (12) при любом выборе стремится к указанному числу. Но этого достаточно (см. § 12.7, теорема 2), чтобы заключить, что интеграл слева в (5) существует и равен указанному числу. Обратно, если интеграл слева в (5) существует, то сумма слева в (12) стремится к нему при и при любом выборе следовательно, и сумма справа стремится к нему же при любом выборе Но тогда интеграл справа в (5) существует и равен интегралу слева.