§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами

Пусть задан ряд

с действительными членами. Определим для него, как в предыдущем параграфе, два ряда

(с неотрицательными членами).

Если ряд (1) абсолютно сходится, то, как мы знаем, сходятся также ряды (2). Очевидно, и наоборот, — из сходимости двух рядов (2) следует абсолютная сходимость ряда (1), потому что

Таким образом, для того чтобы ряд (1) абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы порождаемые им ряды (2) сходились.

Пусть теперь ряд (1) сходится, но не абсолютно. Тогда один из рядов (2), пусть для определенности первый, расходится, т.е.

Первая сумма в правой части (3) неограниченно возрастает вместе с а вторая стремится к конечному пределу, потому что ряд (1) сходится, поэтому левая часть (3) неограничена при возрастании Таким образом, оба ряда (2) расходятся.

Заметим еще, что из сходимости ряда (1) следует, что , а тогда, очевидно, и .

Мы показали, что если ряд (1) сходится, но не абсолютно, то порождаемые им ряды (2) оба расходятся, но при этом и . Это утверждение можно еще переформулировать так: 1) Для того чтобы ряд был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы ряды, составленные только из положительных и только из отрицательных его членов, были сходящимися.

Впрочем, может оказаться, что один из этих рядов на самом деле есть конечная сумма или вообще отсутствует.

2) Если ряд сходится не абсолютно, то ряды, составленные только из положительных и только из отрицательных его членов, расходятся, а их общие члены стремятся к нулю.

Существует следующая терминология. Говорят, что ряд сходится безусловно, если он сходится и любая перестановка его членов не нарушает его сходимости, и ряд сходится условно, если он сходится, но существует перестановка его членов, нарушающая его сходимость, т. е. делающая переставленный ряд расходящимся.

Из доказанной в предыдущем параграфе теоремы о перестановочности абсолютно сходящегося ряда следует, что а) абсолютно сходящийся ряд сходится безусловно.

Из утверждения же 2) и теоремы, которую мы доказываем ниже, следует, что б) сходящийся не абсолютно ряд сходится условно.

Из утверждений а) и б) тогда следует, что для того, чтобы ряд сходился безусловно, необходимо и достаточно, чтобы он был абсолютно сходящимся.

После сказанного самому понятию безусловной сходимости можно дать другую, эквивалентную, формулировку: сходящийся ряд называется безусловно сходящимся, если ряд, полученный после любой перестановки его членов, продолжает сходиться и имеет прежнюю сумму.

Но перейдем к теореме, о которой шла речь.

Теорема 1 (Римана). Пусть заданы два расходящихся ряда с положительными членами, стремящимися к нулю при к ).

Тогда, каково бы ни было действительное число моэрсно сконструировать ряд вида

имеющий сумму

Таким образом, при или он будет расходиться. В этот ряд входят все притом по одному разу.

Доказательство. Пусть для определенности положительное число, конечное. Числа подбираются как наименьшие натуральные числа, для которых выполняются последовательно неравенства:

Возможность подобрать такие числа каждый раз следует из расходимости рядов Теперь тот факт, что ряд (4) сходится к следует из того, что

Чтобы получить теорему при можно в правых частях неравенств 1), 2), ... поставить вместо соответственно числа