Глава 14. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 14.1. Пространство С непрерывных функций

Перед чтением этого параграфа рекомендуем еще раз прочесть § 6.1-6.3. К этому мы сделаем добавление о полноте пространства.

Пусть есть линейное нормированное пространство и последовательность элементов сходится к элементу Тогда для любого можно указать такое что выполняется неравенство

Поэтому если то

И мы доказали: если последовательность элементов сходится к некоторому элементу то она удовлетворяет условию Коши: для любого можно указать такое что выполняется неравенство

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Имеются примеры таких линейных нормированных пространств, что в них можно указать последовательности элементов удовлетворяющие условию Коши, но не сходящиеся к какому-либо элементу . С такими пространствами мы будем иметь дело (пространства ).

По определению линейное нормированное пространство называется полным, если любая принадлежащая последовательность удовлетворяющая условию Коши, сходится к некоторому элементу

Полное линейное нормированное пространство называют еще банаховым пространством. Некоторые примеры банахова пространства нам хорошо известны. Это есть пространство действительных чисел и евклидово пространство

Пространство С. Пусть есть замкнутое ограниченное множество пространства Совокупность всех непрерывных на действительных

(комплексных) функций обозначают символом При этом каждой функции приводят в соответствие число

— норму в метрике (пространства) С.

Пространство С непрерывных (на функций есть линейное нормированное действительное (комплексное) пространство с нулевым элементом

В самом деле, С есть линейное действительное (комплексное) множество (см. § 6.1). Кроме того (см. § 6.3),

По определению (1) для функций из С имеют место равенства

Если правая часть (2) стремится к нулю при к то это значит (см. § 11.7), что последовательность функций равномерно сходится к на Таким образом, сходимость последовательности функций в пространстве (метрике) С эквивалентна равномерной ее сходимости на

Пусть теперь последовательность функций удовлетворяет (в метрике С) условию Коши, т. е. для любого найдется такое что

для всех Тогда, как было доказано в § 11.7, последовательность равномерно, а следовательно, и по норме в С сходится к некоторой функции :

Таким образом, из того, что последовательность функций удовлетворяет условию Коши, следует, что существует функция

к которой эта последовательность сходится в метрике С, т. е.

Мы доказали, что С есть линейное нормированное полное пространство, т.е. банахово пространство.