§ 11.4. Ряд Лейбница

где числа монотонно убывая, стремятся к нулю называется рядом Лейбница. Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма самом деле, частичная его сумма с нечетным номером может быть записана в виде

откуда очевидно следует, что она ограничена сверху числом

С другой стороны, она может быть записана в виде

откуда следует, что она монотонно не убывает. Но в таком случае существует предел

Очевидно также, что

Теорема доказана.

Пример 1. Ряд есть, очевидно, ряд Лейбница. Таким образом, он сходится и его сумма не превышает 1 (на самом деле, , см. § 5.11,(5)).