§ 7.15. Теоремы существования неявной функции

Зададим произвольную функцию от двух переменных х,у. Приравняем ее нулю:

Множество всех точек (х,у), для которых выполняется это равенство, обозначим через Пусть , т.е.

Если не накладывать никаких условий на то множество может иметь самую различную природу. Например, в случае множество состоит из одной-единственной точки в случае

есть пара прямых, проходящих через Однако часто имеют место случаи, когда по крайней мере в достаточно малой окрестности

представляет собой кривую, описываемую непрерывной (однозначной) функцией

Возникает вопрос: как по свойствам функции узнать, что имеет место именно этот случай?

Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставленный вопрос.

Теорема 1. Пусть задано уравнение

удовлетворяющее следующим свойствам.

Функция определена на некоторой двумерной окрестности точки плоскости и непрерывна там вместе со своими частными производными (первого порядка); при этом

Пусть, далее, есть множество всех точек (х,у), удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, Тогда, каков бы ни был прямоугольник

число можно уменьшить так, что множество описывается непрерывно дифференцируемой функцией

Другими словами, прямоугольник А обладает тем свойством, что на его проекции на ось можно определить непрерывно дифференцируемую функцию (4), удовлетворяющую уравнению (1):

График ее полностью принадлежит А. Эта функция единственна в том смысле, что любая точка имеет координаты, связанные уравнением (4). В частности, потому что

Теорема 1. Пусть задано уравнение

удовлетворяющее следующим условиям.

Функция определена на некоторой окрестности точки пространства точек и непрерывна там вместе со своими частными производными (первого порядка); при этом

Пусть, далее, есть множество всех точек удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, ). Тогда, каков бы ни был прямоугольник

число а можно уменьшить так, что множество описывается непрерывно дифференцируемой функцией (т. е. имеющей непрерывные частные производные)

Доказательство теоремы 1. Так как непрерывна на области то из (2) следует, что имеет один и тот же знак всюду на Для определенности пусть на Введем замкнутый прямоугольник

принадлежащий Так как и непрерывны на то для некоторых положительных констант

Функция от переменной у строго возрастает на отрезке — потому что на А, и так как то Вследствие непрерывности на А можно число а в (5) максимально уменьшить так, что же (см. (5)).

Рассмотрим теперь для произвольной фиксированной точки функцию от у на отрезке . В силу свойств она непрерывна, строго возрастает и имеет противоположные знаки на его концах. Но тогда существует, и притом единственное, мы его обозначим через для которого

Этим доказано существование определенной на функции удовлетворяющей требованиям теоремы, если не считать, что пока не доказана ее непрерывная дифференцируемость.

Пусть и

Тогда, применяя формулу конечных приращений Лагранжа для функции двух переменных (см. § 7.13, (7)), получим

или

Учитывая, что (см. (7)), получим

следовательно,

что показывает, что функция непрерывна на .

Но теперь, деля (8) на мы можем перейти к пределу при и получить, что для любого существует производная

Здесь надо учесть, что непрерывны и на А.

Мы доказали не только существование производной но и важную формулу (11), с помощью которой можно вычислять Непрерывность непосредственно видна из этой формулы, потому что непрерывны на прямоугольнике, а кривая непрерывность которой уже установлена, не выходит за его пределы.

Доказательство теоремы 1 аналогично. Вместо х надо рассматривать х и считать, что определяются, как в формулировке теоремы 1, и

Теперь уже имеют место неравенства

и по аналогии доказывается существование и единственность функции

удовлетворяющей уравнению Единственность понимается в том смысле, что любая точка удовлетворяющая уравнению имеет координаты, связанные между собой равенством (12). Пусть теперь

где Тогда согласно формуле конечных приращений Лагранжа для функции многих переменных (см. § 7.13, (7))

и, следовательно,

и в силу (7)

Далее, считая, что при из получаем

и после перехода к пределу при учитывая (10) и то, что непрерывны и имеем

При этом непрерывны по х, потому что правая часть непрерывна по х.

Теорема 2. Если функция {соответственно ) удовлетворяет условиям теоремы 1 (соответственно теоремы 1) и, кроме того, имеет на непрерывные частные производные порядка I, то и функция (соответственно ), о которой идет речь в теореме 1 (соответственно теореме 1), имеет на непрерывные частные производные порядка

Доказательство. Дифференцируя (11) по получим

где, конечно, всюду в частные производные надо вместо подставить Правая часть этого равенства — непрерывная функция от следовательно, и непрерывна.

Продолжая дифференцирование, наконец получим, что производная есть рациональная функция частных производных от до порядка I включительно и производных непрерывность которых установлена на предыдущем этапе дифференцирования. При этом знаменатель дроби, равной этой рациональной функции (в силу условия не равен нулю.

В случае теоремы 1 равенству (13) будут соответствовать следующие (см. (11)) равенства:

Пример 1. Левая часть уравнения имеет непрерывные частные производные, но производная по у при равна нулю. Это не мешает тому, что данное уравнение имеет единственное решение равное нулю при Таким образом, теорема 1 дает только достаточные условия для существования единственной неявной функции, график которой проходит через заданную точку но не необходимые.