§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции Если известна ее первообразная, то для этого естественно применить формулу Ньютона-Лейбница. Но далеко не всегда первообразная известна, и возникает задача о приближенном вычислении интеграла.

Простейший способ приближенного вычисления определенного интеграла вытекает из определения последнего. Делим отрезок на равные части точками

и полагаем

где знак выражает приближенное равенство.

Выражение (2) называется квадратурной формулой прямоугольников. В случае рис. 10.4 искомая площадь фигуры, ограниченной кривой осью х и прямыми приближенно равна сумме площадей изображенных там прямоугольников.

Рис. 10.4

Мы знаем, что для непрерывной на функции предел при правой части приближенной формулы (2) точно равен левой, что дает основание считать, что при большом ошибка квадратурной формулы (2), т.е. абсолютная величина разности правой и левой ее частей, мала.

Однако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узнаем, как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым условиям гладкости.

Неравенство (см. 4-е издание этой книги, § 10.9)

дает оценку приближения квадрата (2) квадратурной формулы прямоугольников для функций имеющих на непрерывную вторую производную. Здесь погрешность приближения — разность между левой и правой частью в (2).

Замечание. Нетрудно проверить, что для линейных функций функций степени формула (2) точна, т.е. для них Оказалось, что если функция имеет производную порядка то приближение квадратурной формулы (1) тоже имеет порядок

Этот факт носит общий характер (см. замечание в § 10.8).