§ 8.12. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных функциях

Доказано, что неопределенный интеграл от функции играющей большую роль в теории вероятностей, не выражается в элементарных функциях. Это же имеет место для функции часто встречающейся в математическом анализе.

Большое значение в приложениях играют так называемые эллиптические интегралы (соответственно первого, второго и третьего рода):

Первые два из них зависят от параметра , а третий — от и еще от другого параметра

Доказано, что все три эти интеграла не берутся в элементарных функциях.

Подстановка сводит первый из них к виду

второй — к виду

а третий — к виду

В выражении (3) возникает интеграл

отличный от (2). Интегралы (2), (5), (4) называются эллиптическими интегралами соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме Лежандра.

Эллиптическим интегралам посвящена обширная литература. Имеются подробные таблицы значений соответствующих им некоторых важных определенных интегралов, в частности таблицы интеграла (5), взятого на интервале