§ 14.8. Полнота системы функций в ...

Теорема. Пусть открытое измеримое (ограниченное) множество.

1) Если система функций полна в то она полна и в

2) Если же она полна в то полна и в Доказательство. Имеют место очевидные неравенства

(см. § 14.3, (5)). Первое из них верно в предположении, что а второе — что

Если система полна в или то найдется конечная сумма для которой правая часть в (1) (соответственно в (2)) меньше Но тогда и левая меньше

Замечание. Приведенные здесь рассуждения для нас во всяком случае обоснованы, когда . В общем случае (см. 4-е издание этой книги).

Упражнения.

(см. скан)